Kérdés
Azt kérdik egy téglavetőtől hogy mennyi vastéglája van? Igy felel: Én a vastégláimat egy koncba (cubusba) raktam, de akkor nem vettem számba, hanem egy embernek eladtam belőlle 1538-at melly abból tölt ki, hogy a koncnak két öszvemenő oldalából egy-egy tégla hosszányit végig, a tetejéből pedig négy egész sort elszedtem, de hogy mennyi maradt még ott, én bizony magam sem tudom, az uram ért a számvetéshez, csinálja ki, osztán vegye meg.
Megfejtés
1° Az első koncnak, melybe a téglát rakta, se hossza, se magassága nem tudatik, tegyük $x$-nek.
Ha mind a két öszvemenő óldalából, mind a felső részéből egy-egy lábnyit elszedett, úgy bizonyoson ismét tökélletes konc (cubus) maradt ott, de mivel annak se tudatik hossza vagy magassága azt tegyük $y$-nak.
Ennélfogva mikor az $x$ hosszából $1$ lábnyit elvett, lett $x-1=y$.
2° Ha az első konc vagy kocka hossza $x\text{,}$ akkor az egész konc $=x^3\text{,}$ a megmaradt konc pedig $y^3$.
Most már azt keresem ki, hogy az az $1538$ tégla hány konclábból tölt ki (pes cubicus), egy konclábba van 8 tégla, és igy az $1538$ tégla $8$-cal elosztódván tesz $192 \frac{2}{8}$ konclábot, melly legyen $=a\text{,}$ mellyet midőn az $x^3$-ból kivett, maradt $y^3$ és igy: $x^3-a = y^3$.
Van tehát már két egyenlítőm u. m.: $x-1=y\text{,}$ vagyis $x=y+1$ és igy: $x^3=y^3+a$.
Az $x=y+1$ koncra emelődve lesz $x^3=y^3+3y^2+3y+1\text{,}$ mellyből következik $y^3+a=y^3+3y^2+3y+1$. Továbbá $a=3y^2+3y+1\text{,}$ megfordítva pedig $3y^2+3y=a-1$ és $y^2+y=\frac{a-1}{3}\text{,}$ kipótolván az Ön-t $\square$-ot lesz $y^2+y+\frac{1}{4}=\frac{a-1}{3}+\frac{1}{4}$. Szálát húzva $y+\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{a-1}{3}+\frac{1}{4}}$ és végre $y=\sqrt{\frac{(a-1)}{3}+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\text{,}$ vagyis $\sqrt{(\frac{192 \frac{1}{4}-1}{3}+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\text{,}$ hogy a számoló törtszámát elvehessem a $\frac{192 \frac{1}{4}-1}{3}$ sokszorozván $4$-gyel lesz $\frac{769-4}{12}$ és $\frac{765}{12}+\frac{3}{12}\text{,}$ vagy $\sqrt{\frac{768}{12}}-\frac{1}{2}\text{,}$ végre 12-vel elosztván $\sqrt{64}-\frac{1}{2}$ melly $=8-\frac{1}{2}$. Az $y$ tehát $7\frac{1}{2}$ láb, melyhez hozzátévén egy lábot lesz az $x=8\frac{1}{2}$ láb. Ennek már a koncát kidolgozván,
lesz az: $614 \frac{1}{8}$ koncláb melybe ment tégla $4913$
ebből kiment $192 \frac{2}{8}$ melyből kikerült tégla $1538$
Megmaradt $421 \frac{7}{8}$ melyben van tégla $3375$.
Q. E. D.