Amegismerés módszere a megfigyelés – alaposan pedig csak az ismétlődő jelenségek figyelhetők meg. Az egymást követő világos és sötét napszakok, a holdfázisok, az évszakok, a csillagvilág éjszakánként felsejlő csodái ösztönözhették régvolt ember-őseinket a világról alkotott első elképzeléseik kialakítására. A tudomány immár az atomfizika elenyészően kis idejű részecske élettartamaitól a világegyetem tízmilliárd években mért időparamétereiig a legkülönbözőbb ismétlődés idejű jelenségeket vizsgálja.
A XIX. század kutatói különösen sokat foglalkoztak a mechanikus és villamos rendszerekben fellépő, periodikus mozgásokkal, lengésekkel, rezgésekkel. A műszaki alkalmazásokban már jóval korábban megjelentek az ún. alternáló szerkezetek. Az Országos Műszaki Múzeum könyvtárának értékes relikviái Jacob Leupold Theatrum Machinarium című, 1720-tól 1739-ig megjelent könyvsorozatának kötetei. A korabeli műszaki ismereteket összefoglaló, hatalmas, gazdagon illusztrált fóliánsok megannyi ötletes szerkezetet mutatnak be. Például az 1. ábra hiányos fogazatú pálcás fogaskerekeit folyamatosan egy irányba forgatva, a velük kapcsolódó fogaslécek vagy pörgőpárok szakaszosan egyik, majd az ellentétes értelemben mozognak attól függően, hogy a hajtó kerék fogai melyik oldalon lévő elem fogaival kapcsolódnak. A későbbi századok során a periodikus működésű szerkezetek megannyi, érdekes változata készült el.
Ingák és cikloisok
A legegyszerűbb harmonikus mozgás elemi trigonometrikus függvényekkel írható le. Az egységsugarú kör polárvektorát egységnyi fordulatszámmal forgatva, a sugár függőleges és vízszintes vetületei a közismert szinusz és koszinusz függvényt állítják elő, lásd 2. ábra.
A csillapítatlan, ideális fonalinga kis $\varphi$ szögkitérésű lengései jól közelíthetők a $T$ periódusidejű mozgással, lásd 3(a). ábra.
Az $S$ jelű súlypontján kívül rögzített, a felfüggesztési pont körül lengő merev test a fizikai inga (3[b]. ábra). Kis $\varphi$ határkitérésekhez tartozó $T$ lengésidejének közelítő formulája a fonalingáéhoz hasonló, egyszerű összefüggés.
Lényegesen bonyolultabb a kettős fonalinga (lásd 3[c]. ábra), még tovább a kettős fizikai inga, például a meghúzott harang és a benne lévő harangnyelv viselkedése. A kölni dóm legendás nagyharangjánál egy egészen különös jelenség lépett fel: a mozgásba hozott harang néma maradt – a véletlenül adódott, roppant különleges méret- és tömegviszonyok okán ugyanis a harangtest és a nyelv lengéseinek periódusideje megegyezett, a haranggal együtt mozgó nyelv tehát nem verődött a harangtesthez, lásd 3(d). ábra.
Az – elvileg végtelenül vékony és hajlékony – fonálon függő $m$ tömeggel modellezett, csillapítatlan fonalinga és az $m$ tömegű, a forgástengelyére számított $\Theta$ tehetetlenségi nyomatékú fizikai inga periódusidői csak közelítőleg egyeznek meg az elemi fizika tanította összefüggésekkel. Alaposabban vizsgálva a problémát kiderül, hogy az ingák lengésidői függenek a maximális kitérés $\varphi$ szögétől. A kitérések növekedésével a valós és az egyszerűsített lengésidők eltérései egyre számottevőbbek.
Az időmérés fejlődésének korszaknyitó mozzanata volt az elvileg pontos ingaóra XVII. század végi megalkotása. Christiaan Huygens (1629–1695) órájában az ingarúd egy hajlékony lemezzel kapcsolódott a felfüggesztéshez. A lemezt két oldalról egy-egy, ciklois alakra kiképzett terelő elem fogta közre. Az ingával együtt mozgó rugalmas lemez a terelő elemeknek ütközve azokra rásimult. A tovább lendülő inga tömegközéppontja így már nem az $l$ sugarú köríven, hanem – matematikailag bizonyíthatóan – a terelő lemez alakjával megegyező ciklois pályán mozgott. Az ilyen kialakítású inga lengésideje elvileg állandó, független a kitéréstől. A Huygens zseniális felfedezése után évszázadokkal később készített precíziós ingaórákban is ezt a megoldást alkalmazták. A ciklois ingaóra eredeti vázlatát és az első ingás szerkezetet a 4. ábra szemlélteti.
A XVII–XVIII. század matematikusai roppant sokat foglalkoztak a ciklois görbékkel. A megannyi fizikai vonatkozásban is fontos görbecsalád elemei egy csúszás nélkül, tiszta gördüléssel mozgó körhöz rögzített pont pályái. Egyenesen gördítve a származtató kört, csúcsos, hurkolt és nyújtott közönséges ciklois görbéket nyerünk. A származtató kört egy másik kör kerületén gördítve, hasonlóan csúcsos, hurkolt és nyújtott, ún. epi-, hipo-, illetve periciklois görbék adódnak. A cikloisok alapalakzatait az 5. ábracsoport szemlélteti.
5. ábra.
Az epi-, hipo-, illetve pericikloisok az álló kör középpontjához rögzített komplex koordináta rendszerben a
$$r=(a+b){e}^{i\varphi}+t{e}^{\frac{i(a+b)\varphi}{b}}\tag{*}$$egyenlettel írhatók le, ahol $a$ az álló, $b$ a mozgó kör sugara, $t$ a leképező pont távolsága a mozgó kör középpontjától, $\varphi$ a mozgó kör elfordulását jellemző szögparaméter, $\sqrt{-1}$ a képzetes egység.
A ciklois görbék különösen bonyolulttá tehetők az álló (lila) és a gördülő (kék) kör sugarainak alkalmas változtatásával, lásd 6(a). ábra.
A cikloidális származtatási elvet más görbékhez is alkalmazhatjuk. A mozgó kört például ellipszisen gördítve, a kör középpont és a leképező pont távolságát periodikusan változtatva a 6(b). ábra alakzata adódik.
A Lissajous-görbék
Jules Antoine Lissajous (1822–1880) francia fizikus 1855-ben ismertette ún. vibrációs mikroszkópját (7. ábra). A készülék egyidejűleg két, egymásra merőleges irányban, különböző frekvenciával rezgetett tálcája egy igen különös jelenséget tett láthatóvá: a tálcában lévő homokréteg felületén sajátos görbék jelentek meg.
Az egymásra merőleges (például az $y$ és az $x$ tengely irányú) rezgések eredője az
$$y=A\sin(k\omega t), \enspace\enspace x=B\cos(m\omega t+\psi)\tag{**}$$egyenletekkel leírható ún. Lissajous-görbe. E görbék néhány egyszerűbb alakja a 8. ábrasoron látható.
8. ábra
A Lissajous-görbék számos fizikai jelenség magyarázatát adják. A korabeli oktatásban mihamar megjelentek a Lissajous alakzatok kísérleti előállítására szolgáló szemléltető eszközök. A Blackburn-inga két, egymásra merőleges síkban lengő, kettős felfüggesztésű fonalingából állt (9[a]. ábra). Az egyes ingák lengésidőit függesztő fonalaik hosszának változtatása biztosította. Az alsó ingán lévő kis edényből kipergő homok vagy vékony tintasugár az alul elhelyezett lapon jelenítette meg a Lissajous-görbéket.
A tinta kiömlésével, avagy a homok eltömődésével a korabeli fizikatanároknak megannyi bosszúságot okozó, nehézkes szerkezet további, komoly, elvi hibája volt a lengések gyors csillapodása, a bizonytalanul megjelenő rajzolat vonalainak torzulása és összemosódása.
Látványosabb és szabatosabb eredményt adott a Pfaundler-féle optikai készülék (9[b]. ábra). E szerkezet fő elemeit két, a fényt át nem eresztő festékkel bevont, egymástól függetlenül forgatható üvegtárcsa képezte. A tárcsákon egy-egy vékony, átlátszó, a forgástengelyekhez képest excentrikus, körgyűrű alakú csíkot alakítottak ki. A megforgatott tárcsapárt megvilágítva a fény csak a csíkok kereszteződésében tudott továbbhaladni. Elsötétített helyiségben kivetítve, vagy fényérzékeny fotóanyagot használva a Lissajous-görbék jobb megjelenítésére nyílott lehetőség. A Pfaundler-féle készülékkel a XIX. századi fizikakönyvek Lissajous-ábráit is el lehetett készíteni.
A mechanikai és villamos lengések analógiája
A kis kitérésű fonalinga mozgását harmonikusnak tekintve, a nagyon hosszú fonalakra függesztett Blackburn-szerkezet rajzolta alakzatok általános egyenlete elfogadható közelítéssel a (**) kifejezés. A Pfaundler-készülék rajzolta fénycsíkok középvonalait elvileg pontosan jellemzi a Lissajous-görbék paraméteres formulája. Az $m$ tömegből, a $k$ mértékű, sebességarányos csillapításból és az $s$ állandójú lineáris rugóból álló, az $F(t)$ erővel gerjesztett mechanikai lengő rendszer vázlata a 10(a). ábrán látható. A $L$ induktivitású tekercs, a $C$ kapacitású kondenzátor és az $R$ értékű ellenállásból összeállított, soros villamos kört a 10(b)., ugyanezen elemek párhuzamos kapcsolását a 10(c). ábra szemlélteti.
A 10(a) szerkezetben a tömeg középpontjának időben változó elmozdulását $y(t)$-vel jelölve, a mozgás differenciálegyenlete
$$m\left(\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}y(t)\right)+k\left(\frac{d}{dt}y(t)\right)+s y(t)=F(t)$$A 10(b) villamos körben az $U(t)$ feszültség hatására mozgó $Q(t)$ töltésmennyiség változását az
$$L\left(\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}Q(t)\right)+R\left(\frac{d}{dt}Q(t)\right)+\frac{Q(t)}{C}=U(t)$$míg a 10(c) kapcsolásban az $I(t)$ áramerősség hatására kialakuló $\Phi(t)$ mágneses fluxus változását a
$$\frac{\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}\Phi(t)}{C}+\frac{\frac{d}{dt}\Phi(t)}{R}+L\Phi(t)=I(t)$$differenciálegyenlet jellemzi. A három rendszer jellemzői között egyértelmű megfeleltetés létesíthető; a paraméterek alkalmas átalakításával a rendszerek differenciálegyenletei a közös
$$A\left(\frac{{d}^{2}}{{dt}^{2}}x(t)\right)+B\left(\frac{d}{dt}x(t)\right)+Cx(t)=E(t)\tag{***}$$alakra írhatók át. A (***) differenciálegyenletet például a
$$5\left(\frac{{d}^{2}}{{dt}^{2}}x(t)\right)+\mathrm{0,2}\left(\frac{d}{dt}x(t)\right)+3x(t)=10\sin{40t}$$alakban felírva, továbbá ha a $t=0$ időpillanatban $x(t)=0, \frac{d}{dt}x(t)=2$, a megoldást – a 0-hoz közelítő (csillapodó) lengés képét – a 11. ábra szemlélteti.
Jedlik rezgési készüléke
Jedlik Ányos (1800–1895) hosszú, alkotó élete során élénken érdeklődött a fizika új eredményei iránt. Tanári és kutató munkája mellett sokirányú más tevékenységet is folytatott. Kevéssé ismert tény, hogy az első magyar vasút indításának műszaki előkészítéséből is részt vállalt.
Az első, a Pest és Vác közötti vonalon üzembeállított gőzmozdonyok1 kazánjainak vizsgálatában közreműködését több dokumentum tanúsítja. Az 1845. szeptember 2-án az egyetemnek írott felkérő levél szerint:
„A központi Vasút Igazgatóságának esedezésére megengedtetvén, hogy azon pálya használatára Seraingbul Cockerill és Társai (Belgium) erőműgyárából érkezett 4 mozgonyok úgymint Pest Buda Debrecen és Poson kazánjai nyilvános vizsgálat alá vételéhez a közigazgatás részéről is szakértők hozzájáruljanak és evégből a klyi [királyi] Egyetem részéről a Természet és erőműtan rendes tanítója Jedlik Antal [elírás!] kebelbeli építési Igazgatóság részéről pedig Igazgató Segéd Keczkés [nevét Kecskésként írja alá] Károly a tapasztalatandókról közös Jelentést teendők, rendeltetvén ki ettűl.”
Az elvégzett mozdonyvizsgálatok fennmaradt hivatalos jegyzőkönyvei mellett Jedlik Ányos pénztárkönyvének bejegyzései is tanúskodnak az eseményekről. Jedlik tehát igen közelről, behatóan ismerte a korabeli csúcstechnikának számító gőzmozdony szerkezeteket.
A mozdony gépezete a gőzhenger dugattyújának mozgását közvetíti a sínen futó, hajtó kerekekre. Jedlik nagyszerű műszaki érzékének és e tárgybeli tájékozottságának eredménye egyértelműen felfedezhető azokban a szerkezetekben, amelyeket a periodikus mozgások sajátosságainak demonstrálására készített.
A 11(a). ábra az első magyar gőzmozdonyok egyikét, a 11(b). ábra egy, már a XX. században épített gőzmozdony gépezetét szemlélteti.
12. ábra.
A jellegzetes, csuklókkal, kulisszákkal és excenterekkel kialakított karos mechanizmus és az Országos Műszaki Múzeumban őrzött, Jedlik féle „rezgési készülék” konstrukciós hasonlóságai szembeszökők. A 12. ábrán bemutatott készüléket a Magyar Orvosok és Természetvizsgálók 1876-os, Máramarosszigeten rendezett nagygyűlésén ismertette. (A szép, pontos ábrák az előadás 1878-ban megjelent nyomtatott anyagából származnak.)
Az Ottmár János budapesti mechanikus műhelyében gyártott szerkezetet a jobb oldali, kézi forgattyúkar hozza mozgásba. A karral összekapcsolt $K$ tengelyen az $O$ jelű excenter és az $a$ kúpfogaskerék található.
A forgattyú tengelyén lévő, $M$ jelű kúpfogaskerék az $N$ kúpfogaskerékkel kapcsolódva működteti a hátsó $L$ tengelyt, illetve a tengelyen lévő $Q$ (középső) és $P$ (bal oldali) excentereket.
Az $O$ excenter a $R$ kar, a $P$ excenter a $W$ kar közvetítésével mozgatja a $U$ jelű, függőleges rudat. A rúd a készülék felső keretéhez a $T$ gömbcsuklóval kapcsolódik, alsó végén a $V$ jelű kardáncsukló található. Az excenterek működése során az $R$ és a $W$ karok kardáncsuklóhoz kapcsolódó végpontjai jó közelítéssel egymásra merőleges, harmonikus mozgásokat végeznek. A kardáncsukló által mozgatott $U$ rúdhoz kapcsolt rajzoló elem tehát a (**) egyenletet jól közelítő pályán mozog. A rajzoló elem a $F$ asztalon lévő $f$ jelű szalagra tehát egy igen szabatos, közelítő Lissajous-görbét rajzol.
A keletkező görbe $A$, $B$ amplitudói az excenterek sugarainak állításával szabályozhatók. A (**) egyenlet $k, m$ paramétereit az $M, N$ fogaskerekek fogszám viszonyai, míg a $\psi$ fázishelyzetet az excenterek – az $M, N$ fogaskerekek összekapcsolási helyzetétől függő – viszonylagos állása valósítja meg.
A $K$ tengely $a$ fogaskereke a függőleges tengelyű $b$ kúpkereket hajtja; ennek forgását egy további (a $D$ jelű, alsó keret által takart) kúpfogaskerék pár közvetíti (a $D$ keret nyílásában látható) $c$ tengelyre.
A $c$ tengely végén lévő (a készülék bal oldali, elülő lába mögött látható) kúpkerék a vele kapcsolódó, függőleges tengelyű kúpfogaskereket forgatja. Az utóbbi hajtás a bal oldali, elülső láb fölött elhelyezett szalagtovábbító szerkezetet működteti.
Az $O$ excenter a $X$ jelű kart közelítő harmonikus mozgásba hozza. Az $X$ kar az $Y$ szögemelőn keresztül az $f$ szalag haladási irányára merőleges irányú, periodikus mozgást biztosít.
A készülék valamennyi eleme szabatos kapcsolatban áll a forgattyúkarral. A készülék hajtókarját tehát tetszőlegesen hajtva a haladó és a haladási irányára merőleges rezgéseket végző szalag, valamint a Lissajous-görbét leíró rajzelem között egyértelmű, pontos kinematikai kapcsolat van.
A készülék különféle beállításaival felvett, eredeti rezgési sávminták a 13. ábrasoron láthatók. Jedlik az aktuálisan felhasznált fogaskerék fogszámokat, valamint a szalag haladási irányának az $X$ karral kiváltott rezgetése irányával bezárt szögeit is közölte.
Az egymásra merőleges rezgő mozgás kettős, a folyamatos haladó mozgás, valamint a harmadik, a haladás irányával ismert szöget bezáró mozgás együttesének komplex egyenlete:
$${y}_{j}=\left[A\sin({m}_{j}t+\varphi)+iB\sin({k}_{j}t){e}^{i\alpha }+vt\right]\tag{****}$$A Jedlik-féle beállítási paramétereket alkalmazva, a (***) egyenlet szerinti, s a Maple V. R10 szimbolikus matematikai programmal előállított alakzatok igen jól egyeznek a Jedlik készülék által rajzoltakkal, lásd 14. ábra.
Guilloche minták a bankjegyeken
A cikloidális és Lissajous-görbék látványos, bonyolult szövevényességű alakzatai érdekes gyakorlati alkalmazást nyernek az ún. guilloche2 technikában. A XVII. századtól kezdődően mind finomabb kidolgozású, gépi minták eleinte ékszerek, drága fegyverek, dísztárgyak felületeit ékesítették, majd a bankjegyeknél és más, hamisítás ellen védeni szándékozott nyomtatványoknál (bélyegek, részvények, kötvények) is jól használhatónak bizonyultak.
A Magyar Nemzeti Bank 1922-ben alapította a hazai Pénzjegynyomda RT jogelőd vállalatát; 1923–25 között épült a vállalatnak ma is otthont adó Markó utcai üzem.
Az első világháború végére tökéletesen elértéktelenedő koronát felváltó pengő bankjegyeinek megtervezésében és gyártásában a vállalat szakemberei 1926–29 között igen komoly fejlesztést végeztek. A második világháború után bekövetkezett – a történelemben a legnagyobb – infláció a nyomdától minden korábbinál intenzívebb munkát követelt. A napról napra megjelenő, irreális címletű bankjegyek tömeggyártása után a forint megtervezése és előállítása 1946-ban kezdődött meg.
A Pénzjegynyomdában őrzött, védett műszaki emlék az egykori német Natherny cég gyártmánya, vélhetőleg az 1900-as évek elején készült, és sok évtizeden keresztül állította elő pengő, majd forint bankjegyeink, a békekölcsön jegyek, postabélyegek stb. nyomólemezein a biztonsági és díszítő mintázatokat. A tengelyek, hengeres és kúpos fogaskerekek, fogasléc, csiga-és csavarkerék hajtások, menetes orsók rendkívül bonyolult rendszere több, forgó és haladó mozgás alkalmasan egybehangolt összetételével állította elő a rézlemez vékony viaszrétegét karcoló tű pályáját (15(a–c). ábrák).
A matematikailag szabatos, periodikus függvényminták alakját és méreteit a gép megannyi beállítási lehetősége biztosította. A cserélhető fogaskerékkészlet különféle darabjait a megfelelő tengelyekre szerelve, a szabályozó csavarorsókat más-más értékekre beállítva az összetevő mozgások pályasugarai, haladó és forgási szögsebességei változtak. Ezzel a sáv- és rozettaminták formái és vonalsűrűségei módosultak. A mai kulcsmásoló gépekhez hasonló módon, egy mesterdarab letapintásával feliratokat is lehetett a rézlemezre vinni.
A gépen több hónapos munkával készült el egy nyomólemez: a gilosminták pontos alakját ugyanis nem lehet szabatosan előre megtervezni. A beállítási paraméterek igen kis módosításával a rajz alakja és méretei nagymértékben változnak. A sok évtizeden keresztül használt gépet két-három szakember ismerte és kezelte: ők szakmai titkaikat egy-egy tehetséges utód betanításával, nemzedékről nemzedékre adták tovább. Ma a Pénzjegynyomda régi gépén hajdan még dolgozó utolsó gilosőr sem él már.
16. ábra.
Rezgések egy másik világból…
1848-ban az amerikai Hydesville-ben a Fox nővérek felfedezték, hogy a ráhelyezett, összeérő kezükkel könnyedén érintett kis asztal – külső hatás nélkül – mozgásba jöhet. Az asztaltáncoltatás divatja mihamar elterjedt az egész civilizált világban; sőt a szellemvilág kopogó üzeneteinek megfejtésére különféle ravasz (például a táblajátékokhoz hasonló) segédeszközök is mihamar forgalomba kerültek.
Az „asztaljártatás” tudományos vizsgálata – talán elsőként – a magyar fővárosban történt meg. A Pesti Napló 1853. április 14-i és május 1-jei számában Jedlik Ányos, az egyetem természettani tanára színes ismertetést ad ilyen tárgyú kísérleteiről. Tapasztalata szerint
Ugyanis„…egy asztal, melyre a körülötte ülő személyek kezeiket akkép helyezik, miként mindegyik személy hüvelykjei egymással, balkezi kis ujja a bal felül, a jobb kezi kis ujja pedig a jobb felül ülő személy kis ujjával jól érintkezvén a kezek által körülbelül 1–2 óráig zárt lánczolat képeztessék, önkénytes mozgásba jő, mintha bűvös erők izgattatnék. Ezen csodálatra méltó tünemény előttem annál inkább hihetetlennek látszott, minél kevésbé lehete azt az eddig ismert természeti erők hatásából következtetni; de nemsokára alkalmam lőn e meglepő tünemény valódiságáról teljesen meggyőződnöm.”
Az első kísérlet oly jól sikerült, hogy„…az angol kisasszonyok nevelő intézetében tartott delejes kisérleteim közben a n. fejedelem asszony által az említett tünemény mibenlétéről kérdeztetvén… javaslám, hogy a számos növendék kisasszonyok idősbjei közül néhányan vállalkoznának az említett meglepő tünemények előidézésére.”
„Az örvendő kisasszonyok mindaddig hagyták az asztalt kezeik alatt nyugtalankodni, míg annak (…) gyönge lábai össze nem törtek.”
Másnap a vizsgálatot új asztallal és egy székkel megismételték.
„Egy óra lefolyta után a kis asztal lassu mozgással önkényt oly helyzetet vőn, melyben hossza éjszaknyugot felé vala irányozva. Ebben a helyzetben azonban nem sokáig maradott; mert majd az egyik, majd a másik oldalra düledezett, majd egyik majd a másik végével ágaskodott, többnyire két lábon, de némelykor egy lábon is állott, mindenkor mintegy feldülni törekedvén, s valóban többször fel is dült volna, ha a körülállók által fel nem tartatik vala; utóbb meglehetős sebességű forgási mozgásba is jött. Mindezen mozgásokat egymás után váltogatván a teremben minden irányban kalandozott, értetődvén nem magára hagyatva, hanem a felső felületét gyöngéden érintő kezek által képzett lánczolat hatása alatt.”
A bizarr jelenségre hamarosan frappáns magyarázat is született.
„…az emberek tagjai idegrendszerének izgékonyságához képest előbb vagy utóbb reszkető mozgást vesznek fel, ha folytonosan valamely kényelmetlen helyzetben tartatnak. Midőn a kezek reszketése már valamennyire növekedett, a lánczolatot alakító kezeknek különirányú reszketései a rezgő testek rezgéseinek egymáshoz alkalmazkodási szabálya szerint lassanként összehangzókká, az az egyidősekké (és egyenirányuakká) lesznek, s mint ilyenek egy eredő erőt (vis resultans) állítanak elő, mely az asztal megmozdítására már elégséges… Ha a kezek reszketései aképp egyezkednek egymással, hogy mindannyian egy eredő erő létesítésére öszmunkálkodjanak, akkor az asztalnak ezen eredő irányában haladnia kell.”
Az okfejtést lakonikus szerkesztői kommentár zárja:
„S e sorokkal bezárjuk ezuttal az asztaltáncz kérdését, arra kérvén tisztelt levelezőink s dolgozó társainkat, miszerint mindaddig, míg valamely felette fontos tapasztalás a jelen nézeteket megczáfolni nem képes – e tekintetben magukat további tudósításokkal fárasztani ne méltóztassanak.”
