Felületmodellek
Az emberek régóta készítenek közelítő modelleket poliéderekből és egyszerű geometriai testekből. Skóciában olyan gömb alakú formákat találtak, amelyek mind az öt szabályos poliédert ábrázolják; ezek i. e. 2000-ig datálhatók [2]. Összetettebb, háromdimenziós felületek modelljei azonban csak a 19. század elején jelennek meg, miután a kifinomultabb matematikai elméletek arra késztették a matematikusokat, hogy megkíséreljék az ilyen alakzatok vizualizálását.
Az 1700-as években Gaspard Monge kidolgozta az ábrázoló geometriát, amely háromdimenziós objektumok kétdimenziós ábrázolását jelenti (például az objektum vetületének lerajzolásával). Elképzeléseit egy katonai mérnöki iskolában fejlesztették tovább, és katonai titokként kezelték egészen a francia forradalom utánig. Monge oktatási célból egyenes alkotójú felületek modelljeit készítette; ezek a típus legrégebbről ismert modelljei [1, 11].
Monge tanítványa, Thèodore Olivier, szintén készített modelleket. Olivier ábrázoló geometriát tanított az École Centrale des Aries et Manufactures-ben és a Conservatoire National des Arts et Métiers-ben, és egyenes alkotójú felületek modelljeit tervezte, amelyek közül néhányat a Pixii, Père, and Sons cég gyártott. Utódjuk, Fabre de Lagrange, továbbra is gyártotta a modelleket [11], és olyan helyekre is értékesített, mint a londoni South Kensington Museum (ma Science Museum) [14].
Az 1800-as évek közepe táján kezdődött el a modellkészítés „aranykora”. Sok matematikus különféle anyagokból, többek között gipszből, kartonból, fémből és zsinórból kezdett modelleket építeni. A modellkészítők közül sokan németek voltak; a résztvevők között olyan meghatározó matematikusok nevei szerepelnek, mint Eduard Kummer, Felix Klein és Alexander Brill. Felix Klein mind a vizuális intuíció, mind a modellépítés egyik fő szószólója volt. Az 1893-as chicagói World’s Columbian Exposition (World’s Fair) után Klein előadássorozatot tartott a Northwestern University-n, amelyekben ezt mondta:
„Külön is hangsúlyozni szeretném azt, amit a ma tárgyalt geometriai módszerek legfőbb jellegzetességének tartok: ezek a módszerek számunkra egy valódi mentális képet adnak az éppen vizsgált konfigurációról, és ezt minden igazi geometriában a leglényegesebbnek tartom” [12, p. 32]
A német kiállítás a chicagói világkiállításon (Chicago World’s Fair) olyan modellbemutatót is tartalmazott, amelynek darabjai egyetemek számára megvásárolhatók voltak [11].
A Northwestern Universityn tartott negyedik előadásában Klein az algebrai görbék és felületek alakját tárgyalta, utalva azokra a modellekre, amelyeket a világkiállítás idején állítottak ki. Egy ilyen modell az Alfred Clebsch által készített diagonális köbös felület (lásd az 1. ábrát).
„1872-ben Göttingenben a harmadrendű felületek alakjára vonatkozó kérdést vizsgáltuk. Különleges esetként Clebsch ekkor készítette el a diagonális felület szép modelljét, amelyen 27 valós egyenes található” [12, p. 26]
Bármely sima felület, amely egy harmadfokú polinom zérushelyhalmaza, pontosan 27, a felületen fekvő egyenest tartalmaz. A diagonális köbös felület esetében e 27 egyenes mind valós. Az 1. ábrán látható gipszmodellben ezeket az egyeneseket a felületbe vésték. E modellen több „átjáró” (ahogyan a klasszikus szakirodalomban nevezték) is megfigyelhető. Kleinnek az az ötlete támadt, hogy a köbös felületek összes lehetséges típusát e átjárók összeomlasztásával és deformálásával állítsa elő (néhány részletért lásd [6]), és az ezt szemléltető modellsorozatot Klein és tanítványa, Carl Rodenburg készítette el. Például három átjáró összeomlasztása három közönséges kettős ponttal rendelkező felületet eredményez, amely kilenc egyenest tartalmaz (lásd az 1. ábrát).
Matematikai modellgyűjteményekben sok más „gyöngyszem” is található, többek között az egylapú hiperboloid és a helikoid (lásd 2. ábra), valamint a Kuen-felület és az állandó negatív görbületű általánosított helikoid (lásd 3. ábra).
A megépített modellek közül sokat kiadók sokszorosítottak és értékesítettek (különösen Ludwig Brill német kiadója, amelyet később Martin Schilling vett át) iskoláknak és múzeumoknak világszerte. 1911-ben a Schilling-féle modellek katalógusa 40 sorozatot tartalmazott, amelyek összesen 4000 modellt és eszközt foglaltak magukban [6]. 1932-re Martin Schilling arról tájékoztatta a göttingeni matematikai intézetet, hogy
„az elmúlt években nem jelentek meg új modellek” [6, Vol 1, p. IX]
A modellkészítés legproduktívabb korszaka lezárult, feltehetően részben annak következtében, hogy a matematikai kultúrában az intuíciótól és a vizualizációtól a formalitás és a szigor felé tolódott a hangsúly. Sok modell azonban túlélte ezt az időszakot az egyetemeken és múzeumokban: poros vitrineken belül pihentek, amikor már nem vették elő őket a matematikaoktatás részeként. Ott várták, hogy a nem matematikai világ felfedezze őket.
A modern művészet születése
A 19. század végéig a nyugati művészet többnyire ábrázoló jellegű volt. Vagyis a művészet olyan rajzokból, festményekből és szobrokból állt, amelyek arra szolgáltak, hogy a fizikai világ valamely aspektusát — embereket, állatokat, tájakat és hétköznapi tárgyakat — megjelenítsék. Az első világháborút megelőző években újfajta művészeti mozgalom bontakozott ki. Ez az absztrakt művészet mozgalma volt, vagyis olyan művészeté, amelynek nem az volt a célja, hogy ábrázoló legyen. Wassily Kandinskyt általában az első nyugati művészként tartják számon, aki tisztán absztrakt képeket festett. Az absztrakció e első hullámát olyan mozgalmak szélesítették ki, mint a dada, a De Stijl és a konstruktivizmus.
A két világháború közötti időszakban a modern művészet egy másik irányzata is kibontakozott: a szürrealizmus. A szürrealisták nem az ábrázolás eltávolítására törekedtek a művészetből (mint a konstruktivisták), és nem is a hagyományos művészet lerombolására (mint a dada), hanem ehelyett a tudattalannak és az irracionálisnak kívántak hangot adni.
Úgy tűnik, mind a szürrealisták, mind a konstruktivisták bizonyos mértékig kapcsolatba kerültek a felületek matematikai modelljeivel. E geometriai felületmodelleknek kísérteties szépségük van; nem meglepő, hogy a művészeket izgatták. Még kevésbé meglepő mindez, ha érdeklődésüket kontektsusba helyezzük. A 19. század közepe és vége a matematika számára viharos időszak volt. A régi eszmék, például az euklideszi geometria, gyökeresen megkérdőjeleződtek. Számos forradalmi matematikai gondolat jutott el a nyilvánossághoz, és egyaránt megmozgatta írók és művészek képzeletét. Az olyan írókat, mint H. G. Wells, és az olyan művészeket, mint Marcel Duchamp, lenyűgözte a nem-euklideszi geometria és a térbeli negyedik dimenzió eszméje. A szürrealisták úgy találták, hogy
„a nem-euklideszi geometria új szabadságot jelentett a bevett törvények zsarnokságától” [9, p. 339]
Kulturális értelemben a matematika egyszerre jelentette a tudományos haladást és a káosz lehetőségét.
Naum Gabo és a konstruktivisták
A konstruktivizmus a 20. század elején Oroszországban kibontakozó művészeti és építészeti mozgalom volt. Naum Gabo és testvére, Antoine Pevsner nagymértékben felelősek voltak azért, hogy a mozgalmat Oroszországon kívül is népszerűvé tették és elterjesztették, különösen Párizsban és Angliában. A konstruktivisták hatást gyakoroltak az Abstraction-Création csoportra, a De Stijl mozgalomra és a Bauhausra is.
Valószínű, hogy Gabo matematikai modelleket látott kiállítva, amikor müncheni diák volt. Gabo tizenévesen érdeklődött a művészet iránt, de a müncheni Ludwig–Maximilians-Universitätre (University of Munich) orvostudományt tanulni ment. Ott más természettudományos tárgyakat is felvett, különösen fizikát és mérnöki stúdiumokat [13]. Figyelemre méltó módon a müncheni Műszaki Egyetemen (Technical University) is látogatott kurzusokat, ahol bizonyosan ki voltak állítva matematikai modellek, mivel Felix Klein és Alexander Brill modelleket készített és tanulmányozott a hallgatókkal folytatott feladatmegoldó foglalkozásokon [6]. Az 1936-os Museum of Modern Art-beli kiállításának katalógusában Cubism and Abstract Art, Alfred Barr még hangsúlyosabban kapcsolta össze Gabót a modellekkel, kijelentve, hogy Gabo
„Münchenben matematikát tanult, és matematikai modelleket készített” [4, p. 133]
Ez az állítás feltehetően pontatlan, ugyanakkor azt mutatja, hogy Gabónak a matematikai modellekkel való kapcsolata Barr kutatása során már felmerült témaként.
Gabo korai, a kubizmus által befolyásolt szobrai, például a Head No. 2 (lásd a 4. ábrát), emlékeztetnek az egymásba illeszkedő keresztmetszetekből összeállított karton felületmodellekre, amilyenek az egyetemen is ki lehettek állítva. Ilyen modellek képei a korszak enciklopédiáiban is megtalálhatók voltak.
Gabo munkáinak e korai hasonlósága bizonyos matematikai modellekkel akár puszta véletlen is lehet, ugyanakkor a modelleknek Gabo 1930-as évekbeli munkásságára gyakorolt későbbi hatása világos. Könyvükben, Constructing Modernity: The Art and Career of Naum Gabo, Christina Lodder és Martin Hammer megjegyzik, hogy egy 1936-os rajz, Study for Construction in Space: Crystal úgy tűnik, az Encyclopaedia Britannica 14. kiadásának „Mathematical Models” című szócikkében szereplő egyik ábra átrajzolása [13]. Valóban, az Encyclopaedia rajza számos hasonlóságot mutat a végső szoborral, Construction in Space: Crystal -lal (1937–9, cellulóz-acetát, Tate Modern, London).
Más szobrok és rajzok is Gabo matematikai modellekkel való találkozásának nyomait mutatják. Így például Gabo 1933-as Sketch for a Stone Carving című munkája (lásd a 4. ábrát) emlékeztet egy egyenes alkotójú felületre vagy helikoidra (lásd a 2. ábrát), amely ki lehetett állítva a párizsi Poincaré Intézetben (Institut Henri Poincaré). Gabo akkoriban Párizsban élt, amikor ez a vázlat készült.
Antoine Pevsner Naum Gabo testvére volt. Pevsner az 1930-as évek közepéről származó konstrukciói egy lehetséges matematikai modellhatás jeleit mutatják. Pevsner művészi pályáját festőként kezdte, és az 1920-as években Gabo bátorította testvérét, hogy forduljon a szobrászat felé, és konstruktív technikákat tanított neki. Pevsner mindig tagadta, hogy a matematika közvetlenül hatott volna művészetére. Ugyanakkor az ő Kifejthető felület sorozatot talán az egyenes alkotójú felületek modelljei ihlették (lásd a 2. ábrát). Matematikailag a „kifejthető” kifejezés olyan felületre vonatkozik, amely egy síklapból nyújtás vagy szakítás nélkül (legalább lokálisan) felépíthető. Egy ilyen felületet ezért egyenesekkel pontosan Pevsner szobrainak módján lehet „felsöpörni” (lásd az 5. ábrát).
Barbara Hepworth brit szobrásznő kapcsolatban állt Naum Gabóval, miközben Gabo Angliában tartózkodott — 1936 és 1946 között. Hepworth feltehetően már látott matematikai modelleket, mielőtt Gabóval találkozott volna. 1935 decemberében Hepworth küldött egy levelet, amelyben azt írta, hogy John Summerson építész azt mondta neki, hogy Oxfordban van
„néhány csodálatos dolog egy oxfordi matematikai iskolában — matematikai egyenletek szoborszerű kidolgozásai — egy szekrényben elrejtve”
és hogy hamarosan el szándékozik menni, hogy megnézze őket [7]. Hepworth munkáinak egy része matematikai hatást mutat. A szobor Helikoidok a gömbben (1938, lignum vitae az eredeti talapzaton, magángyűjtemény), például hasonlóságokat mutat egy matematikai felületmodellhez, amely Steiner római felülete (Steiner’s Roman Surface) néven ismert. Más szobrok, például Pelagos (1946, festett fa és zsinórok, Tate Modem, London) és Tavasz (lásd az 5. ábrát) formájukban és a zsinór használatában matematikai modelleket idéznek. Az 1930-as években Hepworth zsinórt és vakolatot használó szobrokat készített, mint például Színes szobor (Mély kék és vörös) (1940, festett vakolat és zsinór, Tate Modem, London). Mindkét anyag széles körben használt volt a matematikai modellekben.
Henry Moore egy másik brit szobrász, akit olykor a konstruktivizmussal hoznak összefüggésbe. Moore többször is kijelentette, hogy a zsinór használatát szobrászatában — amely 1937-ben kezdődött — az befolyásolta, hogy modelleket látott a londoni Science Museumban.
„Lenyűgöztek a matematikai modellek, amelyeket ott láttam, és amelyeket annak a formának a különbségének szemléltetésére készítettek, amely félúton van egy négyzet és egy kör között. Az egyik modell egyik végén egy négyzet volt, oldalanként 20 lyukkal… E lyukakon gyűrűket fűztek át, és azok a másik végén egy körhöz vezettek, amelyen ugyanennyi lyuk volt. A középen beiktatott sík megmutatja azt a formát, amely félúton van egy négyzet és egy kör között… Nem e modellek tudományos tanulmányozása volt, hanem az a lehetőség, hogy a zsinórokon át — mint egy madárkalitkán — keresztülnézve az egyik formán belül meglássam a másikat, ami izgalomba hozott” [8, p. 105]
Az efféle modellek hatása olyan művekben figyelhető meg, mint például Zsinórozott figura 1. sz. (1937, cseresznyefa és zsinór, Hirshhorn Museum and Sculpture Garden, Washington, DC).
Man Ray és a szürrealisták
A A szürrealista festészet története című műben Marcel Jean azt sugallja, hogy feltehetően Max Ernst vitte be a matematikai modelleket a szürrealista tudatosságba.
„Max Ernst eredetileg a Henri Poincaré Intézetben találkozott ezekkel a konstrukciókkal, és megemlítette őket a Cahiers d’Art igazgatójának, Christian Zervosnak, aki viszont megkérte Man Rayt, hogy fényképezze le őket” [10, p. 251]
Ezt megerősíti Neil Baldwin beszámolója is a Man Rayről szóló könyvében, amelyben azt írja, hogy ez egy olyan sorozat volt,
„amely az 1880-as években egy fizikus által létrehozott tárgyak fényképeiből állt, aki arra tett kísérletet, hogy az algebrai képleteket helyesen jelenítse meg. Max Ernst elvitte Man Rayt, hogy megnézze a Párizsban, a Poincaré Intézetben kiállított tárgyakat, és szándékoltan impresszionisztikus stílusban lefényképezte őket” [3, p. 199]
Man Ray saját szavaival, a filmben A Life in the Day of Man Ray azt mondja, hogy „hallott néhány matematikai tárgyról a párizsi Poincaré Intézetben”, jóllehet nem említi, ki mondta ezt neki.
Man Ray ezután fényképsorozatot készített, Mathematical Objects címmel, amely a Poincaré Intézet modelljeiről készült tanulmányokból állt. E fényképek közül néhány megjelent a Cahiers d’Art 1936-os egyik számában, Christian Zervos matematikáról és absztrakt művészetről szóló esszéjével együtt.
Man Ray fényképei, valamint a rájuk épülő későbbi festménysorozata (lásd a 6. ábrát) nagy nyilvánosságot biztosítottak a matematikai modelleknek. A szürrealisták matematikai tárgyakat mutattak be az 1936 májusi „Exposition Surraliste d’ Objets” kiállításukon a párizsi Galerie Charles Rattonban. Híres „A tárgy válsága” című írásában André Breton így ír,
„A matematikai intézmények laboratóriumai világszerte már egymás mellett mutatnak be euklideszi és nem-euklideszi elvek szerint szerkesztett tárgyakat, amelyek a laikus számára egyaránt rejtélyesnek tűnnek, ám mindazonáltal lenyűgöző és kétértelmű viszonyban állnak egymással a térben, ahogyan azt általában elgondoljuk” [5, p. 274]
Man Ray matematikai tárgyak iránti érdeklődése feltehetően hatással volt az 1936-os Nemzetközi Szürrealista Kiállításra is, amelyet a londoni New Burlington Galleries-ben rendeztek. Ezt a kiállítást pénzügyileg támogatta és megszervezte Roland Penrose, aki Párizsban Man Ray és André Breton barátja volt. Man Ray London és Párizs között ingázott, műtárgyakat szállítva a kiállítás előkészítése érdekében [3]. A kiállításon bemutatták a matematikai tárgyakról készült fényképeit; a tárlat 1936. június 11-től július 4-ig volt nyitva, napi 1 500 fős látogatottsággal. Még a kiállítás katalógusa is a matematikai modellek iránti vonzalomról árulkodik: a katalógus címlapja Max Ernst kollázsa, amelyen egy hüllőfejű szobor látható, amint számos matematikai modellt tart és áll azok közelében, köztük a Kuen-felületet (lásd a 3. ábrát). Man Ray fényképei egy másik nagy, korabeli kiállításon is feltűntek, az 1936–37-es Fantasztikus művészet, dada és szürrealizmus című kiállítás a New York-i Modern Művészetek Múzeumában.
Más szürrealistákat is inspirálhattak a modellek és az azokról készült fényképek. Max Ernst, aki a londoni kiállítás katalógusának címlapját készítette, több más kollázst és festményt is alkotott, amelyek mintha matematikai modellekhez kapcsolódnának. Példák erre: Az istenek lakomája (1948, olaj vásznon, a 20. század múzeuma, Bécs, Ausztria), Kémiai nász (1948), valamint Egy fiatalembert foglalkoztat egy nem-euklideszi légy röpte (1942–7), amely több, matematikai modellekre emlékeztető formát tartalmaz, például a Spindle-ciklid és a Horn-ciklid alakzatait.
Modellek és a mai művészet
Azok a modellgyűjtemények, amelyek Gabót, Hepworth-t és Man Rayt inspirálták, ma is megtekinthetők a világ egyetemein és múzeumaiban. Íme néhány a számos helyszín közül, ahol ilyen modellek fellelhetők:
- Massachusetts Institute of Technology. Az MIT jelentős Brill-Shilling gipszmodell-gyűjteménnyel rendelkezik, amely nagyon jó állapotban van. A modellek a matematika tanszék 2-es épületének folyosóin tekinthetők meg.
- Az Arizonai Egyetem modellgyűjteménye online is megtekinthető (http://math.arizona.edu/ models/). Ez a gyűjtemény Richard Baker több modelljét is tartalmazza.
- Az Illinois-i Egyetem Urbana-Champagne kampusza nagy modellgyűjteménnyel rendelkezik az Altgeld Hallban. Ez a gyűjtemény azért egyedülálló, mert a modellek többségét kifejezetten az egyetem számára készítette Arnold Emch, akit 1911-ben vettek fel az egyetem modellgyűjteményének bővítésére.
- Smithsonian Institution. Az évek során több iskola is átadta olykor málladozó modellgyűjteményét a Smithsoniannek. Peggy Kidwell (e-mail) gondozza a gyűjteményt.
- A New York állambeli Schenectadyben található Union College Olivier-modellekből álló gyűjteménnyel rendelkezik. Ezeket jelenleg a könyvtár különleges gyűjteményei között őrzik, de idővel visszakerülnek a matematika tanszékre.
- A párizsi Poincaré Intézetben, ahol Man Ray a modelleket fényképezte, ma is több mint 400 modell található. A gyűjteményt a könyvtárban helyezték el.
- A németországi Drezdai Műszaki Egyetem több mint 400 modellből álló gyűjteménnyel rendelkezik, amelyek közül több online is megtekinthető a http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/index.php.
E modellek ma is inspirálják a művészeket. 2004-ben Sugimoto Hiroshi fotográfus fényképsorozatot készített a Tokiói Egyetem gyűjteményének gipszmodelljeiről. A fényképek több kiállításon szerepeltek, és 2005-ben a New York Times is közölte őket. Néhány fotó online is megtekinthető a http://www.sugimotohiroshi.com/conceptualforms.html címen, mások pedig a New York Times archívumában keresve találhatók meg. Jonathan Chertok olyan építész, aki a Brill–Schilling-katalógus matematikai modelljeit gyors prototípuskészítéssel és más technológiákkal újraalkotja. Munkái a következő címen érhetők el: http://www.universaljointdesign.com/.