Egyiptomi feladatok az ókorból
A legrégibb, matematikai tartalmú írásos emlékeink az i. e. 2000. év tájáról származnak. Ezek közé tartozik két egyiptomi papirusz. Az egyiket, a Rhind papiruszt 1858-ban fedezte fel Henry Rhind skót régiségkereskedő, aki tüdőbajának gyógyítására utazott Egyiptomba. E papirusz írója Rha-a-usz fáraó udvari írnoka, Ahmesz volt, aki azonban ezt a művet maga is egy régebbi írásról másolta. A Rhind papirusz valószínűleg az akkori írnokiskolák matematikaanyagát öleli fel. Ez a Londonban őrzött tekercs 84, főként a gyakorlati élettel kapcsolatos feladatot tartalmaz. Ezekhez hasonló 25 feladatot olvashatunk a valamivel kisebb méretű, ugyanebbő1 a korból származó, Moszkvai-papiruszon. A feladatok között találunk elméleti jellegűeket is, főleg a törtekkel való műveletek gyakorlására. Mielőtt e régi feladatok néhányát megoldanánk, ismerkedjünk meg nagy vonásokban az ókori egyiptomiak számolási módjával. …
Babiloni feladatok az ókorból
A Tigris és az Eufrátesz közötti termékeny síkságon az i. e. 3200. év táján a sumérek és az akkádok éltek. Ők voltak itt az első államalapítók. Utánuk az amoriták alkottak erős birodalmat Babilon fővárossal. Erről a területről a XX. század elején a régészeti feltárások mintegy 100 000 ékírásos cseréptáblát hoztak napvilágra. Ezek között 250 matematikai tartalmú, és tanúsítják, hogy a babiloni matematikusok az i. e. 2000 körül igen fejlett matematikai ismeretekkel rendelkeztek. Helyi értékes, hatvanas számrendszerben számoltak, és szójeleik alkalmasak voltak arra, hogy bár kezdetlegesen, de pótolják a mi algebrai jeleinket. Gondolkodásmódjuk mindenesetre jellegzetesen algebrai volt. Nagyon valószínű, hogy az egyiptomi matematika tekintélyes része babiloni ihletésű. A babiloni feladatmegoldók ügyességét szeretnénk illusztrálni néhány feladattal.
Ókori és középkori kínai feladatok
A legrégibb kínai, matematika tartalmú emlék az i. e. 1100 táján keletkezett Csou Pi Szuan Csing, a Számítási könyv a napóráról. Tartalmazza az első kínai csillagászati megfigyeléseket és számításokat. Ezekből következtethetjük, hogy a kínaiak e könyv írásának idejében már ismerték a Pitagorasz-tételt. Ősrégi kínai könyv, valószínűleg a „Csou Pi” idejéből az I csing (A változások könyve) című jóskönyv is. Ebben található az irodalom első bűvös négyzete az, amelyet az I. ábra mutat. Benne a sorok, az oszlopok, valamint az átlós számok összege 15.
Ókori és középkori hindu feladatok
A XI. század elején a nagy arab matematikus, Al-Biruni azt írta a hindu matematikáról, hogy csillogó kristályoknak és értéktelen kavicsoknak a keveréke. Mi igyekeztünk e korszakból kiválasztani a ragyogó ékköveket. E válogatásbeli jóindulatot megérdemli az a nép, amely megajándékozta a világot a helyi értékes tízes számrendszerrel. Ez pedig jórészt az 500. év táján működő Árjabhata és az utána 100 évvel későbben élt Brahmagupta érdeme.
Feladatok az ókori görög matematikából
A görög matematika kezdeteiről semmit sem tudunk. Az első görög matematikus, akinek nevét és eredményeit Eudémosz (i. e. 320) matematikatörténete említi, a milétoszi Thalész (i. e. 624?–547?) volt. Az ő felfedezései azonban, és azok megfogalmazása is annyira fejlett és kész, hogy jogosan gondolhatunk előzményekre, amelyeket sajnálatosan nem ismerünk. Az biztosnak látszik, hogy a görögök sok matematikai ismeretet vettek át az egyiptomiaktól és a babiloniaktól, de amit idegenben tanultak, azt továbbfejlesztették, a maguk sajátosan görög gondolkozásukhoz igazították. Főleg avval múlták felül az őket környező népek matematikáját, hogy kifejlesztették a bizonyítási igényt. Nem elégedtek meg az eredmények és az eljárások puszta közlésével, hanem meg is indokolták azokat. A másik görög matematikai sajátosság Püthagorasz (i. e. VI. század), illetőleg az irracionális viszony felfedezése után jelentkezett. Ez a matematika teljes átgeometrizálásában nyilvánult meg. Az algebrának korukban már meglevő gyökereit nem fejlesztették tovább, egészen Diophantoszig (III. század). A geometria területén viszont ragyogó sikereket értek el. Ezek között elsősorban az Eukleidész (i. e. 300 körül) által mintaszerűen megalapozott axiomatikus felépítést kell kiemelnünk, amely mind a mai napig befolyásolja a tudományos gondolkozást. Az algebrai szimbólumoknak teljes hiánya, a csupán szavakkal leíró, bár rajzokkal is illusztráló geometriai irányzat végül is saját maga állított korlátot a görög matematika fejlődése elé. Amit azonban az i. é. VI. század és az i. sz. IV. század között, tehát Thalésztől Papposzig a görög matematika elért, az valóban bámulatra méltó. Thalész, Püthagorasz, Eudoxosz, Eukleidész, Arkhimédész, Apollóniosz, Ptolemaiosz és Diophantosz csillogó nevei jelzik a görög matematika ez idő alatt megtett káprázatos útját. Ebből az időszakból valók a következő feladatok. …
A híres ókori szerkesztési feladatok
Az i. e. V. század közepén a püthagoreusok már két, egymással is szembenálló táborra bomlottak. Az egyiknek hívei főleg vallási és életmódbeli szempontokat helyeztek előtérbe, a másik szekta tagjai pedig a matematika művelését tekintették életcélnak. Ebbő1 az időből származnak az első emlékek a három leghíresebb ókori feladatról. Az egyik szerint adott körhöz, avval egyenlő területű négyzetet kell szerkeszteni (körnégyszögesítés); a másik keresi, hogyan lehet adott szöget három egyenlő részre osztani (szögharmadolás); a harmadik célja, hogy adott kockához kétszer akkora köbtartalmú kockát szerkesszen (kockakettőzés). Ezekkel a feladatokkal szinte minden jelentős görög matematikus foglalkozott, és így rengeteg szellemes megoldás született. Ezek a megoldások azonban a Platón, illetve Eukleidész által megszigorított szerkesztési feltételeket – amelyek csak körző és vonalzó használatát engedik meg – nem tartották be. Jóval később kiderült, hogy euklideszi szerkesztéssel e feladatok nem oldhatók meg. Matematikatörténeti jelentőségük éppen az, hogy a szerkeszthetőségi feltételek tisztázásával és az új szerkesztési módszerek kutatásával előmozdították a matematika több területének a fejlődését, gazdagodását.
Az arabok
Arab csodának szokás emlegetni azt az aránylag nagyon rövid korszakot, amely alatt az arabok a VI–VIII. században létrehozták hatalmas világbirodalmukat. A hódításnál még nagyobb csoda volt azonban, hogy eközben magukba szívták a leigázott népek kultúráját, amit lényegesen tovább is fejlesztettek. Az araboknak köszönhető, hogy az ókori egyiptomi, görög, hindu és mezopotámiai természettudományok és a matematika is összeforrtak, sajátos arab szemlélettel kibővültek és számunkra megmaradtak. A most következő feladatok a VIII–XV. századi arab világ matematikusainak a műveiből adnak szemelvényeket, de a mához illő, korszerű feldolgozásban.
Európa matematikája a középkorban és a reneszánszban
Azokhoz a magaslatokhoz képest, amelyeket a matematikai fejlődés a görögöknél és később az araboknál elért, Európa matematikája még az V–X. századokban sem volt jelentős. Habár kisebb mértékben, de ezekben a századokban a keresztény tudósok között is akadtak, főleg a Bizánci Császárságban, akik igyekeztek a klasszikussá vált görög tudomány hagyományait az újabb korok számára átmenteni. Európa nagy tömbje azonban ebben az időben a matematika területén tudatlannak mondható. Az élet sem kívánt csak csekély gyakorlati számolási készséget és matematikából annyit, amennyi a naptárkészítéshez és az egyházi ünnepek helyes megállapításához kellett.
Európa nagy tanulása, amikor tudásra éhesen igyekezett megismerni az ókori matematikai eredményeket – főleg a görög geometriát és az arab algebrát – csak a XI–XII. századokban kezdődött. Ekkor már az eredményes tanulás nyomán új, önálló gondolatok, felfedezések is születtek. Az újrafejlődő matematikának ezt, a nagyjából a XVI. századig tartó szakaszát szeretné jellemezni a következő néhány feladat.
