Addig formalizálj, ameddig az értelmünk ér!

Nemrég újra kezembe került Whitehead és Russell Principia Mathematica (A matematika alapjai) című nagyszabású munkája (1910–1913), amelyben a szerzők megkísérlik a logicista iskola programjának teljes megvalósítását: az egész matematika felépítését kizárólag a logika alapelveire támaszkodva. A mintegy kétezer oldal terjedelmű dolgozat gondolati mélysége, a felhasznált szimbólumok bősége és a teljesen formalizált levezetések végtelennek tűnő sora okán, joggal nevezhetjük olvashatatlan mesterműnek.

A két szerző a nagy előd, Gottlob Frege munkáját reprodukálta és tette teljesebbé, akinek úttörő könyve 1879-ben jelent meg Begriffsschrift (Fogalomírás) címen. A Logika, szemantika, matematika bevezetésében azt olvashatjuk, hogy Frege-nek ez a műve

„a 19. század utolsó harmadának egyik legjelentősebb szellemi alkotását tartalmazza. Ma már a Begriffsschrift megjelenésének évét tekintik – és teljes joggal – a modern logika (szimbolikus vagy matematikai logika) születési évének, a könyv szerzőjét pedig – ugyancsak indokoltan – korunk Arisztotelészének.”

[7. p.]

Azonban,

„eltekintve néhány recenziótól, a mű a századfordulóig teljesen észrevétlen maradt, és semmiféle hatást nem fejtett ki a tudomány fejlődésére.”

[7. p.]

Sikertelenségéhez az a szokatlan szimbólumrendszer is hozzájárult, melyet Frege művéhez kialakított: gyakran oldalakon keresztül még összekötő szöveget sem találunk, csak kétdimenziós formulák sokaságát.

Két, ide kívánkozó részlet A logika fejlődése című kötetből:

„Frege műveit, talán csak a Grundlagen kivételével, soha nem olvasták széles körben. Azok közül, akik kinyitották könyveit, némelyeket alighanem a szimbolikája riasztott vissza. Lord Russell például megvallja, hogy a Grundgesetze első kötetének jelentőségét első olvasásra ezért nem fogta fel, de még csak meg sem értette a benne foglaltakat.”

[485. p.]

„Frege korszakalkotó kis könyvét, sajnálatos módon, a matematikusok és a filozófusok egyaránt mellőzték. Mint később megjegyezte, nem remélhetett megértést azoktól a matematikusoktól, akik olyan logikai kifejezésekkel találkozva, mint ’fogalom’, ’reláció’, ’ítélet’, azt mondják, hogy: Methaphysica sunt, non leguntur!, de azoktól a filozófusoktól sem, akik egy formula láttán azt mondják: Mathematica sunt, non leguntur!.”

[419. p.]

Frege megjegyzése, egy jellegzetes két kultúrás törésvonalat sejtet a XIX. század második felében.

A matematikusok manapság is gyakran küzdenek kommunikációs nehézségekkel. Ezt jól érzékelteti az Alexits György-gyel 1968-ban készült interjú itt következő részlete:

„– Hát kérem, az nagyon könnyen előfordul, hogy két, egyébként szakmájában igen kiváló matematikus nem érti meg egymást. Talán mutatok egy Springer-katalógust. Ebben, mint látható, van egy könyv, amelynek ez a címe: Y₄ = 0. Őszintén szólva nemcsak azt nem tudom, hogy ez mit jelent, de azt sem tudnám, hogy ez matematikáról szól, ha nem volna történetesen ideírva, hogy ez a matematika tárgykörébe tartozik.”

Tudósportrék 44. p.

Természetesen a XX. század második felében a számítástechnika sem kerülte (kerülhette) el a formalizálás szigorodását. Erre ékes példa az ALGOL programnyelv-család kifejlesztése. Míg az ALGOL 60 programozási nyelv specifikációjában a tervezők megelégedtek az ún. Backus-féle normál forma alkalmazásával, a ’70-es évek egyik számítástechnikai slágerkönyvében, az ALGOL 68 programozási nyelv specifikációjában, már kétszintű nyelvtan riogatta a gyanútlan olvasót (ugyanis, csak ezen az áron tudtak a formalizált szintaktikai leírásba becsempészni szemantikai morzsákat). Ez is oka lehetett egy korabeli vélekedésnek: „az ALGOL 68 nem programozási nyelv, hanem rémregény”. Nemsokára megérhettük a programhelyesség-bizonyítás térhódítását is. Ízelítőül egy mintaoldal:

Most pedig ejtsünk szót a Pitagorasz-tétel kapcsán néhány érdekes geometriai kísérletről. A tétel legrégebbi ismert bizonyítása egy babiloni agyagtáblán található, amely Kr. e. 1000-körülre datálható:

A tétel klasszikus bizonyítása valahogy így néz ki:

„A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével.

Legyen ABC egy derékszögű háromszög, és benne BAC a derékszög. Azt állítom, hogy a BC oldalú négyzet egyenlő a BA meg az AC oldalú négyzet összegével.

Legyen ugyanis BDEC a BC oldallal szerkesztett négyzet, GB, HC pedig a BA, AC oldalra emelt négyzet, és húzzuk A-n át a BD és a CE egyenessel párhuzamosan AL-t, és húzzuk meg AD-t és FC-t.Minthogy pedig mind BAC, mind BAG derékszög, így a BA egyenesen levő A pontnál két AC, AG egyenes fekszik nem ugyanazon az oldalon, és két derékszöggel egyenlő szögeket alkotnak egymás mellett; tehát AC ugyanazon az egyenesen van, mint AG. Éppen ezért BA is ugyanazon az egyenesen van, mint AH. Minthogy pedig a DBC szög egyenlő FBA-val – derékszög ugyanis mind a kettő –, adjuk hozzájuk közös (tagnak) az ABC szöget; így a teljes DBA szög egyenlő a teljes FBC-vel. És minthogy DB egyenlő BC-vel, FB pedig BA-val, e két-két (oldal), DB, BA és FB, BC páronként egyenlő; és a DBA szög egyenlő FBC-vel; az AD alap tehát egyenlő az FC alappal, és az ABD háromszög egyenlő az FBC háromszöggel; és az ABD háromszögnek kétszerese a BL paralelogramma, mert ugyanaz a BD szakasz az alapjuk és ugyanazon BD, AL párhuzamosok között fekszenek; az FBC háromszögnek pedig kétszerese a GB négyzet, mert ismét ugyanaz az FB szakasz az alapjuk és ugyanazon FB, GC párhuzamosok között fekszenek. Egyenlőknek a kétszeresei pedig egyenlők egymással; egyenlő tehát a BL paralelogramma a GB négyzettel. Hasonlóképp mutatható meg AE-t és BK-t meghúzva az is, hogy a CL paralelogramma egyenlő a HC négyzettel. A teljes BDEC négyzet tehát egyenlő e két négyzettel, GB-vel meg HC-vel. És a BDEC négyzetet a BC, a GB, HC négyzeteket pedig a BA, AC oldalra emeltük. A BC oldalú négyzet tehát egyenlő a BA meg az AC oldalú négyzetekkel. A derékszögű háromszögekben tehát a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével. Éppen ezt kellett megmutatni.”

1847-ben, a viktoriánus Angliában Oliver Byrne angol matematikus, új formában jelentette meg Euklidész Elemeinek¹ első hat könyvét (a mű síkmértani részét). Sutba dobva a geometria hagyományos formalizmusát, a bizonyításokat színes alakzatok (a színek információtartalmát is kihasználva) és néhány speciális szimbólum segítségével mutatja be. Arról nem tudok, hogy kísérlete megrengette volna a matematika oktatását, de annyi bizonyos, hogy könyve a kor könyvművészetének egyik ma is nyilvántartott, becses darabja. [Aktuális ára Londonban: 5 000 angol font körül van.]

Végül egy Java-alapú interaktív megoldás két változatban: 1 2.

Szimbólumokra, formalizálásra persze igen nagy szükségünk van. Ügyes kiválasztásuk és adekvát alkalmazásuk sokat lendíthet egy-egy tudományterület fejlődésén (tanulságos példa a kémiából a Kekulé „álma” körüli hecckampány, de számos érdekes példát találhatunk a matematika történetében is). Ráadásul, a tudósok a bevezetett fogalmak definícióinak sorával, és az alkalmazott formalizmus világos magyarázatával küzdhet a megértésért. Ezzel együtt, vajon manapság ritkábbak a mulatságos helyzetek? Talán ma már jobban tudjuk, mit kell kezünk ügyében tartani „tudományos zsákjainkban”.

Válogatta, az összekötő szöveget írta és a jegyzeteket összeállította Visontay György