Akhilleusz megelőzte a teknőst, aztán kényelmesen elhelyezkedett ellenfele hátán.
– Szóval mégiscsak véget ért ez a mi versenyfutásunk, – szuszogta a teknős. Noha végtelen sok útszakaszt kellett megtennie eközben. Úgy tudom, hogy valami nagyokos még be is bizonyította, hogy ilyesmi nem történhet meg.
– De mennyire megtörténhet mondta Akhilleusz. – Mint ahogy meg is történt. Ezek a bizonyos útszakaszok, tudja, egyre rövidebbek és rövidebbek lettek, így aztán…
– No és ha egyre hosszabbak és hosszabbak lettek volna? – vetette közbe a teknős. Akkor mi lett volna?
– Akkor én most nem ülhetnék itt. Akhilleusz fészkelődött egy kicsit, aztán szerényen hozzáfűzte: – Ön pedig mostanra már jó néhányszor megkerülte volna a világot.
– Meg kell hajolnom súlyának érve… akarom mondani érvelésének súlya alatt – nyögte a teknős. – No, mindegy, figyeljen! Nem volna most kedve egy olyan versenyfutáshoz, amelyet a legtöbb ember két-három ugrással vél megtenni, holott az valójában végtelen sok olyan lépésből áll, amelyek mindegyike hosszabb az előzőnél?
– De még mennyire! – A görög hős felugrott, és hatalmas noteszt, valamint egy plajbászt kotort elő a sisakjából. (Azokban a zord időkben még nagyon kevés görög hősnek volt zsebe.) – Tőlem akár kezdhetjük is. De lassan, ha szabad kérnem, még nem találták fel a gyorsírást.
– Ó, Eukleidész! – suttogta átszellemülten a teknős. – Ön is rajong a munkáiért?
– Szenvedélyesen! Már amennyire ez egyáltalán lehetséges több száz év múlva elkészülő műveket illetően.
– Nos, akkor vegyük szemügyre az első tétel bizonyítását, pontosabban annak két lépését, és a levont következtetést. Jegyezze, kérem, és hogy a továbbiakban könnyen hivatkozhassunk rájuk, jelöljük őket rendre 𝓐-val, 𝓑-vel, 𝓩-vel.
- Ha két mennyiség mindegyike ugyanazzal a harmadikkal egyenlő, akkor ezek egymással is egyenlők.
- Ennek a háromszögnek a szárai külön-külön egyenlők egy adott harmadik szakasszal.
- Ennek a háromszögnek a szárai egyenlők egymással.
Eukleidész olvasói megesküsznek, hogy a logika szerint 𝓩 következik 𝓐-ból és 𝓑-ből, így bárki, aki 𝓐 és 𝓑 igazságát elismeri, 𝓩-t is igaznak kell tekintse.
– Feltétlenül. Ezt minden középiskolás megmondhatja – mihelyt úgy 2000 év múlva bevezetik ezt az intézményt.
– És ha valaki nem tekinti igaznak 𝓐-t és 𝓑-t, attól még a következményt elfogadhatja, nemde?
– Nem vitatom, talán ilyes valaki is akadhat. Valahogy így okoskodhat: Elhiszem, hogy amennyiben 𝓐 és 𝓑 igaz, akkor 𝓩 is igaz, de szerintem 𝓐 vagy 𝓑 hamis. Az ilyen ember ne várjon sokat Eukleidésztől. Bölcsebben teszi, ha futballozni megy.
– Vajon nem képzelhető el olyasvalaki, aki így okoskodik: „Elfogadom ugyan 𝓐-t és 𝓑-t, 𝓩-t azonban nem.”
– Hogyne, elképzelhető. Az ilyen végképp jobban jár a futballal.
– Mindenesetre a fentiek egyike sem köteles 𝓩-t mint igaz állítást elfogadni – szögezte le a teknős.
– Így van – bólintott Akhilleusz.
– Akkor tegyük fel, hogy én ebbe a második csoportba tartozom. Kérem, győzzön meg a logika fegyverével, hogy 𝓩 igaz.
– Egy futballozó teknős… – kuncogott Akhilleusz.
– Túlzás, kétségtelen – vágott közbe a teknős. – De ne térjünk el a tárgytól, előbb legyen meg 𝓩, aztán jöhet a futball.
– Szóval győzzem meg, hogy 𝓩 igaz. – Akhilleusz eltűnődött. – Jelenlegi álláspontja eszerint a következő: elfogadja 𝓐 és 𝓑-t, ám elutasítja azt az állítást…
– Hívjuk 𝓒-nek – szólt közbe a teknős.
– Szóval Ön szerint nem igaz, hogy
- Ha 𝓐 és 𝓑 igaz, akkor 𝓩 is igaz.
– Így van – bólogatott a teknős. – Ez az álláspontom.
– Ez esetben azt kell kérnem, fogadja el 𝓒-t.
– Rendben van – szólt a teknős. – Ezen ne múljék! Mindazonáltal arra kérem, írja fel a noteszába is. Nocsak, van ott már más is?
– Semmi, semmi, néhány feljegyzés csupán. – Akhilleusz zavartan lapozgatott. Tudja, csatákról, amelyekben kitüntettem magam.
– Ó, mennyi üres lap! – mosolygott kajánul a teknős. Szükség is lesz rájuk. Akhilleusz összerezzent. – No jó, írja csak, majd én diktálom:
- Ha két mennyiség mindegyike ugyanazzal a harmadikkal egyenlő, akkor ezek egymással is egyenlők.
- Ennek a háromszögnek a szárai külön-külön egyenlők egy adott harmadik szakasszal.
- Ha 𝓐 és 𝓑 igaz, akkor 𝓩 is igaz.
- Ennek a háromszögnek a szárai egyenlők egymással.
– 𝓓-t kellett volna írnunk, nem pedig 𝓩-t – dünnyögte Akhilleusz. – Ez következik. Ha elfogadja 𝓐-t, 𝓑-t és C-t, akkor 𝓩-t is el kell fogadnia.
– Már miért kéne elfogadnom?
– Miért, miért? Mert logikusan következik azokból. Ha 𝓐, 𝓑 és 𝓒 igaz, akkor 𝓩 is igaz. Remélem, efelől nincsenek kétségei?
– Ha 𝓐, 𝓑 és 𝓒 igaz, akkor 𝓩 is igaz. – ismételte elgondolkodva a teknős. – Hisz ez egy újabb állítás, nemde? És ha ennek az igazságáról nem győz meg valaki, akkor ugyan elfogadhatom 𝓐-t, 𝓑-t, meg 𝓒-t is, de 𝓩-t semmiképpen nem vagyok köteles elfogadni.
– Nem köteles, – ismerte el a hős méltányosan. – Bár ekkora korlátoltság párját ritkítja. Mindazonáltal lehetséges. Így viszont arra kell kérnem, fogadjon el egy újabb állítást.
– Semmi akadálya, a legnagyobb örömmel teszem, mihelyt feljegyezte. Hívjuk ezt tehát 𝓓-nek, azaz:
- Ha 𝓐, 𝓑 és 𝓒 igaz, akkor 𝓩 is igaz.
– Leírta már?
– Le. – Akhilleusz elégedetten tette félre a ceruzát. – És most már tényleg itt a vége. Elismerte, hogy 𝓐, 𝓑, 𝓒 és 𝓓 igaz, nem lehet tehát kétsége afelől, hogy 𝓩 igaz.
– Neeeem? – A teknős ártatlanul pillantott Akhilleuszra. – Ne hamarkodjuk el ezt a dolgot. Rendben van, elfogadom, 𝓐, 𝓑, 𝓒 és 𝓓 igaz, no de miért volna ezek után igaz 𝓩?
– Miért, miért, mert addig verem, amíg belekékül. – kezdte elveszteni Akhilleusz a fejét. – No jó, nézzük, mit mond a logika. Épp most fogadta el 𝓐-t, 𝓑-t, 𝓒-t és 𝓓-t, így 𝓩-t is el kell fogadnia, nem tehet egyebet!
– Bármi hasznosat mond is a logika, érdemes följegyeznünk. Írja hát:
- Ha 𝓐, 𝓑, 𝓒 és 𝓓 igaz, akkor 𝓩 is igaz.
Amíg ezt nem látom be, természetesen 𝓩 igazságáról sem lehetek meggyőződve. Erre a lépésre feltétlenül szükségünk van, lássa be.
– Belátom. – Akhilleusz csüggedten bámult maga elé.
Az elbeszélő ezen a ponton kénytelen volt magára hagyni a boldog párt, és elfoglalt ember lévén csak néhány hónap elteltével látta viszont őket. Akhilleusz még mindig a teknős hátán ücsörgött, valamit körmölt a noteszába, amely már csaknem betelt. A teknős aggódva kérdezte:
– Sikerült feljegyeznie az utolsó lépést? Ha nem vétettem el a számolást, az ezeregyediknél tartunk. De ez még semmi ahhoz képest, ami előttünk van […]
