Hídverés rovat

Weöres Sándor kombinatorikai játékairól

Keszei Ernő
matematika, kombinatorika, Weöres Sándor

Kicsit kívülállónak érzem magam a Weöres Sándor évfordulón tanulmánnyal szereplők között, mivel szakmámat tekintve kémikus vagyok, jelenleg is az ELTE Fizikai Kémiai Tanszékén dolgozom egyetemi tanárként. Azért örömmel fogadtam a meghívást, és szívesen hozzájárulok Weöres Sándor ünnepléséhez. Ennek az is oka, hogy kiemelkedik a költők közül azzal a minuciózus kompozíciós módszerrel, amivel például az itt vizsgált verseket írta. Több olyan verse is van, amelyeknek egyik fontos szerkesztési elve a variáció, de ennyire alaposan megtervezett, és majdnem kizárólag a – kombinatorikai értelemben vett – változatok „megjelenítésére” összpontosító műve csak ez a kettő ismert; a „Téma és variációk”, illetve a „Tenger felhő…”. Ez a két vers olyan mértékben egyesíti a véletlenszerűséget a tervszerűséggel, hogy óhatatlanul felkelti a fizikai kémikus statisztikus fizikán edzett érdeklődését is.

Az itt leírt elemzések először 2003-ban jelentek meg [1], majd egy részletesebb változat [2] 2008-ban. Azóta újabb tulajdonságok vizsgálatára is sor került, így jelen dolgozatban az eddigieknél bővebb anyag olvasható. A tulajdonságok alapvető megértéséhez azonban szükség van a versek szerkezetének könnyen átlátható ismertetéséhez, ezért itt némi ismétlésre okvetlenül szükség van, hogy ne kelljen a korábbi közleményeket elővenni a megértéshez.

Amíg a verseket gyanútlanul olvassuk, az első benyomásunk a „Téma és variációk” esetén az a könyörtelen változatosság, amelyen az első sor simán hangzó mondata átesik, miközben az egymást követő sorokban a szavak más és más pozícióba és szerepbe kerülnek, és egyre lehetetlenebbnek tűnő nyelvi leleményességgel telnek meg bizarr jelentéssel. Tapasztalataim szerint mindenki, aki hallgatja a verset, előbb-utóbb nevetésben tör ki, s a nevetés intenzitása egyre fokozódik. Ha ezen a szinten abbahagyjuk a vers hallgatását vagy olvasását, nem is sejtjük a rendkívül gondos kompozíciós elv jelenlétét az egész műben. Hasonló hatása van a „Tenger felhő…”-nek is; csak abban nem a jelentések bizarr változatossága, hanem a hangzás meglepő változatossága tűnik fel a hallgatónak. Mivel ebben a versben nem a szavak, hanem a szótagok variálása a kompozíciós eszköz, ezért az első sor után nem a simán hangzó mondat karaktere, hanem a mondat nyelvi értelmezhetősége tűnik tova. Azt ugyan érdemesnek tartom itt megjegyezni, hogy én első olvasásra azt hittem, hogy a további sorok valamely északi nyelveken jelentenek valamit – mivel nekem az elsőt követő legtöbb sor izlandias-skandinávos hangzásúnak hatott. Amint azonban kicsit figyelmesebben olvassuk ezt a két verset, feltűnik, hogy az elsőben minden sorban ugyanazok a szavak szerepelnek, a másodikban pedig minden sorban ugyanazok a szótagok. A magamfajta olvasó itt kap kedvet arra, hogy alaposabban szemügyre vegye a szerkezeteket, s ehhez segédeszközöket is használ. Követve a költőt, itt a szavak szaporítása helyett inkább rátérek a versek kombinatorikai szempontú elemzésére.

Ehhez először bemutatom a „Téma és variációk” című verset olyan módon, hogy minden sorban a helyükön maradó kék betűk a vers állandó részeit jelölik, amelyek elhatárolják egymástól a változó részeket, míg a változó részek az alap betűtípussal szedettek:

A vers szerkezetének elemzését azonban lényegesen megkönnyíti, ha a szavak helyett számkódokat használunk. Válasszuk ezeket úgy, hogy az első sor változó szavait sorban megszámozzuk, a szóhatároló elemek pedig eközben nem kapnak sorszámot, így a továbbiakban velük nem is foglalkozunk.

Tekintsük át először a vers eredeti elrendezését (A), majd a két átrendezést (B és C).

A) Az eredeti elrendezésből látszik:

  • Az első sor 12 szavának sorrendje azonos a 12 egymást követő sor első szavainak sorrendjével.
    (Az első sor és az első oszlop egyaránt eredetileg is rendezett, ismétlések nélkül.)
  • Az első sor 3., 5-9. és 11. szava ugyanabban a pozícióban (oszlopban) többször is előfordul (árnyalt négyszögek), a többi csak egyszer.

B) A rendezett oszlopokból látszik:

  • A nyíllal jelölt pozíciókban (1., 2. és 12. oszlop) minden szó pontosan egyszer fordul elő.
    (Ez kiderülhet az eredeti elrendezésből is, csak így jobban szembetűnik.)
  • A vastagon bekeretezett sorszámú szavak (3., 5-9. és 11.) megtartják az első sorban elfoglalt pozíciójukat.
  • A vékonyan bekeretezettek is kettőnél többször előfordulnak egy adott oszlopban, de ez nem egyezik meg az első sorbeli pozíciójukkal.

C) A rendezett tagmondatokból látszik:

  • A vastagon bekeretezett sorszámú szavak megtartják a tagmondaton belüli helyüket annyiszor, ahányszor a keretben szerepelnek.

Tekintsük át a következőkben a tagmondatok szógyakoriságát.
A D1-D2 táblázatok sorai a szavakat, oszlopai a tagmondatokat jelentik.

A bal oldali (D1) táblázat tartalmazza a tagmondatok szógyakoriságának adatait, amiből látszik, hogy melyik szó (sorindex) hányszor fordul elő az adott tagmondatban (oszlopindex). A „többletek” és „hiányok” száma szükségképpen azonos; ez szerepel a jobboldali (D2) táblázatban, és összefoglalva az alatta lévő E)-ben.

Az E) táblázat összefoglalja az egyes szavak egyes tagmondatokhoz kötődésének eltérését az egyenletes, véletlenszerű eloszlástól, illetve a tagmondatok szavainak ettől való átlagos eltérését. Ezt úgy számítjuk ki, hogy vesszük az adott tagmondatban lévő szavak eltéréseinek (második oszlop; db) átlagát, és ezt hasonlítjuk annyiszor 1/12-hez, ahány szó a tagmondatban van. (Egyenletes eloszlás esetén 1/12 a valószínűsége annak, hogy egy szó valamelyik pozícióba kerül.) Az eltérések alig különböznek a véletlenszerű eloszlástól, ami 0% lenne. Megjegyezzük, hogy a „nap” nem az eredeti, (első), hanem az 5. (utolsó) tagmondatban fordul elő eggyel többször.
A többiek az eredeti tagmondatban torlódnak.

Érdekes lehet a vers szófajelemzése is. Úgy tűnik, a magyar nyelv különösen alkalmas arra, hogy a szótövek megváltozott szófajok alakjában jelenjenek meg. A következő táblázatban az fn főnevet, az i igét, az mn melléknevet, a h határozószót, az nm névmást, a hin pedig határozói igenevet jelent.

Szavak szófajváltozatai az egyes sorokban (a vers egy sora a táblázat egy oszlopa)

A névelők száma az egyes sorokban

Ha a versben a változó szavak töveinek szófajváltozatait nézzük, akkor észrevehetjük, hogy főnévként kimagaslik a nap, az árokszél és a rabkocsi ilyetén előfordulása. Nem meglepő módon a mindenki főleg névmásként, a tölt pedig főleg igeként fordul elő. Legkevésbé a remek „hajlandó” főnévi szerepben előfordulni, amit a mindenki és – meglepő módon – a sugár követ, amely hétszer ige, és csak háromszor főnév. A főnevek dominanciája a sorokon belüli szófajeloszlásból is kitűnik.

A szerkezet állandó elemeinek jelenlétét (az első sorral megegyező sorrend az első oszlopban; a második és az utolsó oszlopban minden szótő csak egyszer fordul elő) az is hangsúlyozza, hogy minden sor első két (változó) szava főnév, vagy legalábbis főnévi szerepben van, míg a sorok utolsó szavai mindig igék. (Ezt az eredeti szövegben is könnyen észrevehetjük.)

Hasonlóan érdekes lehet a (határozott) névelők megjelenése-eltűnése az egyes főnevek előtt. Ezek száma 1 és 4 között ingadozik, és az egész versben kb. három főnévre (pontosan 2.9-re) jut átlagosan egy névelő. Vessük össze ezeket az adatokat a magyar nyelv, illetve Weöres Sándor szófaj- és névelőhasználati statisztikáival.

A fenti táblázatokból a teljes versben előforduló szófajok arányát a magyar nyelvre vonatkozó lexikológiai adatokhoz viszonyítva pl. a következő táblázatban foglalt százalékos adatokat vehetjük figyelembe [3].

A másik vers a „Tenger felhő…”, ami a „Versek a hagyatékból” című kötetben jelent meg. Ennek a versnek „alapegységei” nem szavak, hanem szótagok. A szerkezet minden soraA táblázatból kiderül, hogy a költő verseiből vett 16 elemű mintához képest a főnevek aránya ebben a versben lényegesen magasabb, amit kb. éppen kompenzál a melléknevek lényegesen alacsonyabb aránya. A többi szófaj kb. azonos arányban szerepel a versben, mint a 16 másik költeményben. (Mivel a 12 szó nem tartalmaz minden szófajt, ezért az arányokat arra a 78,5%-ra normáltam*, ami az előforduló szófajok arányának összege a 16 mintaversben.) Amennyiben a magyar szépirodalmi epika statisztikáihoz hasonlítjuk a 12 szó szófaji arányait, a leginkább szembetűnő eltérést ebben az esetben is a főnevek mutatják; a 12 szóban közel kétszer akkora a főnevek aránya, mint a magyar szépirodalom epikai korpuszában. A névelők aránya a főnevekhez a versben ennek ellenére közel azonos a magyar korpuszban előforduló arányokkal.

  • * A 78.5%-ra normálás azt jelenti, hogy a versben előforduló változó szavak előfordulási arányát megszoroztam 0,785-del. Erre azért van szükség, hogy a változó szavak között elő nem forduló szófajok ne torzítsák el az összehasonlítást. (Mivel a változó szavak között előforduló szófajok összességének aránya a 16 Weöres versben csak 78,5%.)

8 szótagot tartalmaz, amelyek közül a nyolcadik mindig azonos. Az ezt megelőző hét szótag pozíciója az összesen hétsoros versben változik. A változások során a szótagok állandóak maradnak, kivéve a 2. sorban a 6. szótagot, ami „hő”-ről „kő”-re változik – legalább is a nyomtatott változatban. Emellett még egy „hiba” fordul elő a 7. sorban, ahol a „fel” szótag kétszer szerepel, noha az összes többi sorban minden szótag csak egyszer fordul elő. Ha ezt a két „hibát” korrigáljuk, akkor a vers pontosan 7 szótag különböző permutációja 7 verssorban – hasonlóképpen az előző vershez, ami pontosan 12 szó 12 különböző permutációja. Felmerülhet a kérdés, hogy a nyomtatott változat vajon megegyezik-e a szerző eredeti szándékával, illetve a hagyatékban talált kézirattal.
Tekintsük át alább a vers szerkezetét, átkódolását, valamint a kódolt szerkezet rendezéseit.

Tekintsük át a fenti táblázatokat.

A-B) Ezek a táblázatok mutatják a vers szerkezetét. Látható, hogy a másodikat kivéve minden sorban „hő” szótag van, csak a második sorban van „kő”.

C) Az, hogy a 7. sorban a 2. (vagy a 6.) szótag helyére nem igazán a „fel” illik, hanem inkább a „szán”, az éppen a sorok rendezéséből tűnik ki; ha „kijavítjuk” a 3-as kódot 7-re (valamelyik „fel” szótagot a „szán” szótagra), akkor minden sor pontosan permutációja egymásnak. Ha nem javítjuk ki, akkor a 7. sor nem permutációja a többinek.

D-D3) A rendezett oszlopok betekintést engednek a permutációk szerkezetébe („nyelvi vonzódásaikba”). Vékony keretben az adott pozícióban (oszlopban) egynél többször előforduló szótagok láthatók, vastag keretben azok, amelyek az ismétlődés mellett egyúttal meg is őrzik eredeti pozíciójukat. (A D1 változatban nincs meg az árnyalt 3-as pár). A nyilak a szerkezet „sarokpontjait” mutatják; az utolsó oszlopban mindig megmaradó „tás” szótagot, valamint a 7. oszlopnak azt a tulajdonságát, hogy benne minden szótag pontosan egyszer szerepel.

A számokkal kódolt elemzés és a rendezés alternatív változatai tükrében megalapozottan felmerülhet, hogy Weöres Sándor vajon tényleg szán-t, csilfel-t és tenfel-t írt-e, vagy az általa írt szótagok valójában a „javított” (C1-C2, illetve D1-D2) elrendezés valamelyikének megfelelően szán és csilszán (vagy tenszán) alakban szerepeltek a kéziraton, és csak a másolás (gépelés, szerkesztés, tördelés) folyamán változtak meg úgy, hogy elrontották a tökéletes permutációkat…

Végezetül tekintsük át a két vers kombinatorikai elemzését. Előtte figyeljünk fel arra, hogy a 12 szó permutálása elképesztően sok lehetőséget rejt magában, míg a szótagok permutálása az a határ, ameddig a vers hangzása szempontjából értelmesen el lehet menni, mint végső határig. (A hangok permutációja már nem versszerű hangzást eredményez.)

A „Téma és variációk” című vers minden sorában az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} halmaz egy-egy permutációja szerepel. (A permutáció azt jelenti, hogy minden elem pontosan egyszer fordul elő minden sorban, és legalább egy elem helye különbözik a különböző sorokban.) Az első sorban, valamint az első oszlopban az identikus permutáció található, így ezek nem változtathatók. További megszorítás, hogy a 2. és a 12. oszlopban minden elem pontosan egyszer fordul elő.

A lehetséges versek számának meghatározása matematikailag a következőképpen közelíthető.

Az 1., 2. és 12. oszlop megszorítások szerinti meghatározása után minden sor a maradék 9 elem permutációja lehet. Az 1., 2. és 12. oszlopból álló 3 × 12-es táblázat egy redukált latin téglalap, amely egy 12 × 12-es latin négyzetből származtatható. A latin négyzet minden oszlopa és minden sora az {1, 2, … , 12} elem egy-egy permutációja. A latin téglalapok a latin négyzetekből néhány oszlop vagy sor elhagyásával keletkeznek. A k oszlopot tartalmazó redukált latin téglalap első sorának elemei az identikus permutáció megfelelő k elemét, első oszlopának elemei pedig az identikus permutációt tartalmazzák.

A feladat így a különböző redukált 3 × 12-es latin téglalapok számának meghatározása, amit meg kell szorozni a maradék 9 elem permutációiból (ennyiféle sor képezhető) kiválasztott 11 sor lehetséges kiválasztásainak számával. Mivel minden sorhoz az adott 9 elem permutációiból választhatunk, ezért ez éppen 11 db 9! elemű halmazt jelent, így a lehetőségek száma (9!)11. A 9! (olvasva: kilenc faktoriális) az első 9 szám szorzata: 9! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9 = 362880, aminek a 11. hatványa 1,437 × 1061. A 3 × 12-es redukált latin téglalapok lehetséges száma (matematikus barátaim és az internet segítségével) alulról közelíthető az interneten elérhető (legnagyobb vizsgált) 3 × 10-es téglalapok számával, ami 8,155 × 109. A két szám szorzata így közelítőleg 1,172 × 1071.

Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a lehetséges versek száma kb. 1071. Ez elképzelhetetlenül nagy szám. Ha feltételezzük, hogy a világegyetem „széle” a jelenlegi becsléseknek megfelelő 15 milliárd fényévre van tőlünk (ami kb. 1,42 × 1029 mm), akkor azt mondhatjuk, hogy ha a Weöres Sándor szabta feltételeknek megfelelő összes lehetséges vers mindegyikét kinyomtatnánk egy papírlapra, akkor az oszlopba összerakott papírhalom messze-messze kilógna a világegyetemből.

A „Tenger felhő…” „javított” változatában minden sorban az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} halmaz egy permutációja szerepel, az első sorban pedig az identikus permutáció. Ezen túlmenően az utolsó oszlopban mindig egy kitüntetett elem, a 8 szerepel.

Így – a rögzített első sort nem számítva – minden sorban az első 7 elem, az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} egy-egy permutációja fordul elő. Ez soronként 7! = 5040 lehetőség, ahol 7! = 1·2·3·4·5·6·7.

A másodiktól a hetedik sorig tehát ennyi lehetséges sorból kell kiválasztani 6 elemű részhalmazokat (mindig 6 sort), ami 7! elemű halmaz 6 elemű részhalmazainak permutációit (más szóval ismétlés nélküli variációit) jelenti. Ezeknek az ismétlés nélküli variációknak száma

7!! / (7! – 6)! = 5040·5039·5038·5037·5036·5035 = 1.63414 × 1022.

Vegyük figyelembe most azt a megszorítást is, hogy a 7. oszlop utolsó 6 eleme pontosan a {2, 3, 4, 5, 6, 7} elemek egy permutációja legyen. (A 7. oszlopban minden szótag pontosan egyszer fordul elő.) Ekkor a lehetőségek a következőképpen alakulnak.

A 2-tól a 7. sorig minden sorban csak a maradék 6 elem 6! = 720 permutációja fordulhat elő. Hasonlóképpen a 7. oszlopban az utolsó 6 elem permutációi állhatnak, amik száma ugyancsak 6! = 720. Összességében tehát 720 féle 7. oszlop lehet, és ennek mindegyikéhez tartozhat minden egyes sornak 720 különböző változata. Ez együttvéve 7207 = 1,003 × 1020.

A lehetséges versek száma 1,003 × 1020. (Ez a – rendkívül nagy – Avogadro számnak csak kb. hatezred része, azaz kb. egy kicsi vízcsepp molekuláinak száma.) Az is látható, hogy a szótagoknak 7. oszlopbeli pontosan egyszeri előfordulása kb. 163-ad részére csökkentette a lehetséges versek számát.

Összefoglalva a két eredményt: felhívjuk a figyelmet arra, hogy mindkét vers esetén szép hasonlat kínálkozik a lehetséges versek számát tekintve. Az egyik a világegyetem egészének kiterjedéséhez, a másik pedig az Avogadro számhoz mérhető, amely az egy mól mennyiségű anyagban – pl. egy evőkanál vízben – levő molekulák száma. Természettudományos hasonlataink így alátámasztják, hogy Weöres Sándor művészete a mikrokozmosz legapróbb részleteitől a világegyetem végtelen mélységeiig átfogja a körülöttünk lévő világot – még kombinatorikai játékainak formai vonatkozásait tekintve is.

Engedjenek meg nekem még egy megjegyzést. Többen beszéltek arról a Weöres alapélményükről, hogy gyerekeik vagy iskolai tanítványaik nemcsak szerették, hanem igen könnyen meg is tanulták Weöres Sándor gyerekverseit, bármennyire bonyolult is azokat néha pontosan megérteni. Én magam is ezt tapasztaltam saját gyerekeimmel. Legkisebb lányom – aki különösen könnyen tanul szövegeket – 11 éves korában kiválasztotta az iskolai versmondó versenyre a „Téma és variációk” címűt. Minden erőfeszítése hiábavalónak bizonyult; két nap tanulás után is csak a 3. sorig emlékezett megbízhatóan a tizenkét soros versre. Ennek hatására kezdtem el foglalkozni Weöres kombinatorikus verseivel, először azzal a szándékkal, hogy felderítem lányomnak a „Téma és variációk” szerkezetét, megkönnyíteni a vers megtanulását. A szerkezet felderítését nagyon izgalmasnak találtam, de az elemzés eredménye – amint ebből a tanulmányból is kiderül – az lett, hogy ezt majdnem lehetetlen megtanulni, mivel 12 szó majdnem teljesen véletlen permutációit tartalmazza. A kulcsot a megtanuláshoz végül Csernus Marianntól tudtuk meg a csöngei Weöres ház avatásán. Ő általában úgy tanul verset, hogy a látott szöveget jegyzi meg, és „felolvassa” vizuálisan felidézett emlékeit a vers előadásakor.

A „Téma és variációk” szerkezetének bonyolult szépségét az is alátámasztja, ha megvizsgáljuk az (általam ismert) egyetlen fordítását, amit Gyimesi Tímea készített francia nyelven [4]. Az alább idézett fordításból kiderül, hogy az fantasztikus nyelvi leleményességgel íródott, és igyekszik minden szembetűnő elemét visszaadni az eredeti versnek. Ha azonban megvizsgáljuk, hogy az itt tárgyalt eredeti vers szigorú szerkezete látszik-e benne, akkor kiderül, hogy nem igazán. A fordításra a fentiek szerint alkalmazott tagolás és a változó elemek számozása megkönnyíti a változó elemek elkülönítését és azok egyszerűbb azonosítását.

A legszembetűnőbb az, hogy a 4. sorban hiányzik két szó: a passe7 és a résonne11 (az eredetiben telten, illetve hangosan). A jelentéssel persze nincs baj; de innen látszik, hogy a fordító nem vette figyelembe a szigorú 12 sor – 12 szó szerkesztési elvet. Ez még abból is kitűnik, hogy a 8. és a 11. sorban a „pass” szótő kétszer is előfordul; egyszer ott, ahol lennie kell, de egy-egy másik szószerkezetbe is belekerül, ami ugyancsak elrontja a vers szigorú szerkezetét. A sorok első szavainak rendje sem teljes a fordításban; a 7., 8., 9., 11. és 12 sorban az első szavak nem abban a pozícióban vannak, mint az első sorban. A sorok utolsó szavai sem alkalmazkodnak az eredeti szerkesztési elvhez. A 4. sorbeli hiányok miatt ez eleve nem teljesülhet, de az sem teljesül, hogy a szavak csak egyszer fordulnának elő (van két ismétlődés), és az utolsó szavak gyakran nem igék. Ami viszont teljesül a szöveg kötött formájából, az a sorok második szavainak egyszei előfordulása. Az, hogy kétszer a nem változó szövegrész « beau » szava veszi át a « jour », illetve « temps » szerepét, valamint hogy egyszer « tout le monde » szerepel « tous » helyett és ugyancsak egyszer – a nem változó részben – « en » van « et » helyett, csak kevéssé billenti meg az eredeti szerkezetet.

Fontosnak tartom azt is hozátenni, hogy én magam is át tudnám írni a fordítást – miután a franciásítás technikáját Gyimesi Tímea igen leleményesen bemutatta – úgy, hogy a szerkezet helyreálljon. Ebből azt a következtetést vonom le, hogya fordító nem figyelt fel a szerkesztés Weöres által alkalmazott szigorú szabályszerűségeinek mindegyikére. Ilyen mértékű szigorú, kombinatorikus természetű tervezettség valószínűleg nem megszokott a versek világában.

Köszönetet mondok Keszei Zsófiá-nak, aki felhívta a figyelmemet Weöres kombinatorikai verseire, valamint Makai Márton matematikus kollégámnak a latin téglalapok rejtelmeinek és kombinatorikai tulajdonságainak feltárásáért.

Hivatkozások

  1. Keszei Ernő: Weöres Sándor: Téma és variációk. = Villanyspenót, 2002: http://www.villanyspenot.hu/index.php?p=szoveg&n=12361; utolsó letöltés: 2014. március 25.
  2. Keszei Ernő: Weöres Sándor kombinatorikus versei. = Természettudományi Közlöny, 2008/1, 13–16. p.
  3. Szövegek és stílusok. = Mozaik webtankönyv http://www.mozaweb.hu/Tankonyv-mozaWeb-Szovegek_es_stilusok-MW-0001, 2014. március 9.