A spidronokból alkotott platóni és arkhimédeszi testek (5+13) valamint relief lefedések (3+8) teljes sora készen áll.
A formacsalád vagy geometriai készlet némi szabadságfokkal bír, tehát nem mondhatjuk, hogy a megoldásunk egzakt, de tökéletes, viszont bizonyos határok között folyamatosan jó. Az „egyszerű szabályos sokszögekhez” képest a spidronnak van egy orientáltsága… egy forgásiránya is, ami növeli a változatosságot. Sőt, ahogy már azt évekkel ezelőtt kifejtettük ez a forgásirány térben akár gyűrűnként változtatható, így a variálhatóság még nagyobb.
A rendszernek ez a rugalmassága és adaptivitása teszi reményteljessé azt a törekvést, hogy a számok vizuális reprezentációját, a számegyenes felfűzött képét is megvalósítsuk általa. A legújabb eredmények alapján lehetőség látszik a természetes számokon túl a negatív, tört, racionális, irracionális és komplex számok ábrázolására is. Ezen ábrák lényege, hogy csupán a prímtényezőket és ezek kitevőit jelenítjük meg. Az első 30 szám képe:
A másik kutatásunk egyik ábrája: síklefedés hasonló négyszögekkel.
Erről készült egy angol nyelvű dolgozat is. 2008-ban bemutatásra kerül Leewardenben, a BRIDGES találkozón.
Megoldottuk Marc Pelletier-vel a Penrose-csempék és azok térbeli megfelelőinek spidronosítását is. Ennek tényét maga Roger Penrose hitelesítette aláírásával.
Négy műszakot (kb. 32 órát) rászántam a Spidron1 találkozón (volt Spidron0 is, tehát ez a második volt Wijk van Aalburgban) arra, hogy az eredeti 1977-ben a Scientific American borítóján Martin Gardner által publikált cikkhez a borítón szenzációként közölt Penrose csempét az eredetinek megfelelően átalakítsam és pontosan 30 évvel az eredeti csempe megjelenése után szétküldjem ennek spidronváltozatát.
Tudni kell, hogy ez a csempézés aperiodikus. Ami azt jelenti, hogy a két elem (sárkány és dárda) úgy van kialakítva, hogy nem lehetséges velük a sík olyan lefedése, amely egy részének eltolásaival (ismétlésekkel-periódusokkal) kialakítható. Sok félreértés van ekörül, mert a formához egy festés is tartozik, ami az illesztési szabályokat meghatározza. Ezeknek a festéseknek is illeszkedniük kell. Óriási erőkkel kutatnak ilyen csempézések után a matematikusok. Ismert az úgynevezett „einstein-probléma”, amely keresi azt az egyetlen követ (Ein=egy Stein=kő), amely ugyanezt az aperiodicitást tudná garantálni. Azt sem sikerült bizonyítani, hogy ez nem lehetséges. Külön szépsége a Penrose-csempéknek, hogy az addig paradigmatikusan „tiltott” ötszögű szimmetriát képviseli a síklefedésben.
A Penrose-csempék síkbeliek. Sikerült hasonló tulajdonságú térbeli formákat is létrehozni: wikipedia.com 1982-ben, publikálva 1984-ben. Ez a szerkezet tulajdonképpen két eltorzított kockából jött létre. Az egyik a testátló mentén történő széthúzás, a másik pedig ugyanezen átló mentén történő összenyomás következtében. Mindkét esetben aranyrombuszok által határolt test jön létre. (aranyrombusz az a rombusz, amelynek átlói egymással aranymetszést képeznek). Ez a két test, ugyanúgy, ahogy a Penrose csempék a síkban, aperiodikusan töltik ki a teret. Nem képzelhető el az ezekkel az alakzatokkal kitöltött térben egy olyan téri tartomány (fundamental domain), amelyet eltolásokkal ismételve, térlefedést kapnánk.
Külön felhívom a figyelmet a nem periodikus és aperiodikus fogalmak közötti különbségre! A nem periodikus lefedések elemeiből lehetséges periodikus lefedéseket létrehozni! Az aperiodikusokból lehetetlen.)
A kvázikristályok világához is hozzá tudtunk szólni a spidronfelületekkel. Mivel a kvázikristályok élei között találhatunk szabályos térbeli sokszögeket. (Angolul „skew polygon”-nak is mondják) és ezek a poligonok éppen bizonyos spidronfészkek kerületeinek megfeleltethetőek, a kvázikristályokat sikerült félbevágnunk megfelelően kialakított spidronfészkekkel, így rengeteg új térbeli összefüggést, modult kialakítanunk, amely mind az építészetben, mind a tárgytervezésben érdekes újdonságokkal kecsegtet, nem beszélve a geometriai jelentőségéről!
