Klein-palackok síklapokból

Ismerőseim udvarias kérdésére, hogy mivel is foglalkozom mostanában, azt szoktam mondani, hogy Klein-palackok síkokra bontásával. A választ szinte azonnal követi a második kérdés: Az meg mi a szösz? S kezdhetem a magyarázkodást az alapoktól. Most abban a szerencsés helyzetben vagyok, hogy ezt Önök, nálam sokkal jobban tudják. Hogy mégis figyelemre méltatnak, hálásan köszönöm.

Rögtön pontosítanom kell a címet. Eredetileg az lett kiírva, hogy Klein-palackok síklapokból. Valójában, amit bemutatok, az nem a Klein-palack a maga valóságában, sokkal inkább annak ábrázolása. Ezt nem mentegetőzésnek szánom, csak tudni kell, hogy amit a kezükben tartanak, az egy kép. Még akkor is, ha térbeli. Nem tévesztendő össze az ideával, amiről szól. Ahogy a portrét sem tévesszük össze a modelljével. Az ábrázolásnak is megvannak a maga törvényei, ahogy az ideának, a matematikai objektumnak is. A helyes cím tehát így hangozna: Klein-palack ábrázolások síklapokból. Csakhogy, egyáltalán nem biztos, hogy a létrehozott tárgyaim valóban Klein-palackok. Ez vizsgálatra szorul. És ha némelyik nem bizonyul annak, akkor ne készítsem el? Egyiket elküldtem Szilassi Lajosnak, hogy nézze meg. Azt válaszolta, hogy az nem Klein-palack, hanem egy hét lapból álló zárt, nem irányítható felület. De ez ne szegje kedvemet. Nem szegte. A cím viszont újabb módosításra szorul. Zárt, nem irányítható felületek ábrázolása síklapokból. Nem hiszem, hogy tömegek özönlenének ide e cím hallatán. S még nem említettem, hogy a síkok, melyekből e testeket felépítem, mekkora jóindulattal nevezhetők síkoknak. Gránitból képes vagyok síkot faragni, mészkőből képes vagyok elhitetni a nézővel hogy síkot lát, de fóliából csak jelölni tudom. De a kalandhoz, melynek átéléséről megpróbálok beszámolni, talán ez az apparátus is elegendő.

Kalandozásaimhoz az inspirációt, McBride Charles Ryan építésziroda Ausztráliában épült háza adta. A leírás szerint az épület falainak és belső tereinek az elrendezése a Klein-palack elve alapján készült. A Klein-palack, vagy Klein-kancsó olyan egyoldalú, felület, mely fokozatosan önmagába fordulva, a nélkül záródik, hogy közben a térből kiharapna egy szeletet. Az ausztráliai épület egzotikumát nem pusztán a topológiai elrendezése adja, hanem az, hogy a Klein-palack motívumot az üvegfelületek, a tető és a falak, hatalmas síkokra bontják. A síkok a legkülönbözőbb szögekben találkoznak egymással, eltérve az építészet szokásos formavilágától. Az épület letisztult vonalai, a merész ötlet arra sarkalt, magam is megpróbálkozzak hasonló formák tervezésével.

Először azonban néhány sorban ismertetném, mi is ez a furcsa geometriai objektum, a Klein-palack.

Klein-palack, vagy Klein-kancsó: Nevét Felix Klein német matematikusról kapta. Egyoldalú (nem irányítható), zárt felület, melynek a külseje folyamatosan alakul át a belsejévé, vagyis ha a felületét elkezdenénk festeni, az ecset felemelése nélkül ki tudnánk mázolni az egészet, kívül-belül. Leggyakrabban lopótök alakú kancsóként ábrázolják, melynek elvékonyodó szára visszakanyarodva áthatol saját falán és belülről csatlakozik a felülethez. Ily módon nemcsak ábrázolható, hanem el is készíthető, teszem azt, üvegből.

Ám akár ábrázolni, akár kivitelezni kívánjuk, a Klein-palack 3 dimenziós tér korlátai között, nem hozható létre az említett önátmetszés nélkül. A Klein-palack matematikailag származtatható egy négyzetből, úgy, hogy a szemben lévő oldal párjai közül az egyiket azonos irányban a másikat fordított irányban ragasztjuk össze. A Klein-palack létrehozható két ellentétes csavarodású Möbius-szalag összeragasztásával. Ezt először David Hilbert írta le, s a műveletet később Szilassi Lajosnak sikerült egyetlen képlettel leírnia, s ezzel sima felületként ábrázolnia az említett Möbius-szalagot.

Fontos figyelmet szentelni, hogy a Klein-palack másik tulajdonságának, hogy felülete zárt. Azaz a Möbius-szalaggal ellentétben nincs éle. A Möbius-szalagnak egy éle van, mely duplán körbefutja a szalagot.

A Klein-palack nem rendelkezik élekkel. Olyan mintha addig csavargatnánk egy gumiszalagot, amíg nem irányítható felületté válik, és ezután hézagmentesen összedolgoznánk. A síklapokból épített Klein-kancsónak természetesen vannak élei, de ezek mindig két sík találkozásával jönnek létre, sohasem a felület széleként. Möbius szalag síkokra bontásakor is keletkezhetnek élek a síkok találkozásánál. Ezeket célszerű megkülönböztetni a szalagon körbefutó eredeti éltől. A dolog néha nem is olyan egyszerű. Példa erre Ulrich Brehm három síklapból szerkesztett Möbius-szalagja.

A Klein-palackot gyakran ábrázolják apró síklapokra bontva. Az esetek zömében a síklapokra bontás, a látvány értelmezését szolgálja, néha azonban megfigyelhető a síklapok számának csökkentésére irányuló törekvés. Ez a tendencia figyelhető meg, egy a Berkeley egyetem oldalán publikált mintegy 150 lapból álló Klein-palack szoborterven, valamint egy 24 lapból álló drezdai modellen.

Ez a törekvés fertőzött meg engem is, amikor megpróbáltam minimalizálni a Klein-palackot alkotó síklapok számát. Tapasztalataim alapján a radikális oldalszámcsökkentés nem végezhető el mechanikusan. A sok intuíciót követelő tervezőmunka végén azonban a megszokott Klein-palackábrázolásoktól gyökeresen eltérő karrakterű látvánnyal szembesülünk.

Tekinthető-e poliédernek a síklapokból épített Klein-palack? Ehhez két feltétel teljesülése hiányzik: A Klein-palackon elkerülhetetlen az önátmetszés, síklapból építés esetén az önátmetsző síkok. A Klein-palack bár zárt felület, nem határolja körbe a tér egy részét, azaz nincs térfogata. Ennek ellenére nem árt, ha néhány poliéderekre is vonatkozó szabály érvényesül: A Klein-palack Euler karakterisztikája, a tóruszokhoz hasonlóan: 0.

A síklapredukció néhány módja: Felfogható a Klein-palack dupla falú dobozként, ahol egy csatornával összekötöttük a külső, a belső majd a szemközti belső falat. Itt a járat véget ér, s két réteg közé jutunk. Érdemes a doboz, és a csatorna falait, a minél kevesebb síkból megszerkeszteni. Azaz, olyan poliédert találni, melynek legalább egy konkáv lappárja van. Öt síklapból már készíthető ilyen, s további lapokat kell a csatorna falának szánni. Ezzel a módszerrel készültek a C és a D sorozat Klein-palackjai.

Egyes variációk csúcselrendezése megengedi szabályos testekbe való átszerkesztését. Nyolc síklap felhasználásával számos szabályos tetraéderbe szerkeszthető változat készíthető. Tizenegy lapból készült szabályos oktaéderbe írott változat. (D sorozat)

Ha a feladatot épülettervezésként fogjuk fel, kiindulhatunk az alaprajz, jellegzetes önmagába hurkolódó rajzolatából. Célszerű, a lehető legegyszerűbb alaprajzot készíteni, azaz, minél kevesebb egyenes szakaszból megszerkeszteni azt. Nem árt, ha sikerül megszabadulni a függőleges fal, vízszintes födém sztereotípiától, s próbáljuk meg a falakat gúlaszerűen néhány közös pontban találkoztatni. Így lapokat spórolunk, s a látvány is kezd gyökeresen eltérni a téma közismert ábrázolásaitól. Alaprajzra tükrözve a látványt síklapokból álló Klein-palackot kapunk.

Egyes lapokat könnyedén közös síkba forgathatunk. Mikorra sikerül a lapok számát 11 körülire csökkenteni, kezd kialakulni a forma karraktere. Néhány a szimmetria síkra merőleges lap, és az őket körülvevő lappárok, melyek már nem forgathatók hasonló helyzetbe, anélkül, hogy összeomlana a rendszer. Ha, további síkoktól szeretnénk megszabadulni, más utat kell keresnünk. A 11 lapú Klein-palacknak még jócskán vannak háromszögletű oldalai. Ha ezeket sikerülne a tükörsíktól független, de páronként megfelelő helyzetű közös síkba rendezni, akkor, tovább csökkenthető az oldalak száma. A továbblépést jelentő intuíciót Szilassi-poliédernek köszönhetem. Szilassi Lajos szabályos tóruszait, különösen a kevés lapból állókat, jórészt „kellemetlenül hegyes szögű” konkáv hatszögek alkotják. Elképzelhető, hogy összefüggés lehet a kevés lap, és azok egzotikus alakja között. Próbáltam keresni a 11 lapú palackon olyan oldalakat, melyek nem elég furák. Így sikerült összevonni két pár háromszögletű lapot, konkáv ötszögekké. S a létrejött Klein-palack már csupán 9 lapból áll.

Az alsó síkokat két háromszög alkotja. Ezek, bár könnyen síkba hozhatóak, időbe tellett, míg beláttam nem a négy csúcsot kell egy síkba hoznom, hanem kettőt megtartva, további új csúcsokat kell keresnem. Másképp mondva, nem úgy kellett az alsó négyszöglaphoz jutnom, hogy elveszek a testből, hanem úgy hogy hozzáadok. Elképzeltem egy az említett két pontot tartalmazó síkot. A test síklapjait meg meghosszabbítottam addig, amíg az új alapsíkot el nem metszik. S az így létrejött forma már valóban 8 síklapból állt. Az ötszöglapok konkáv hatszögek, a hatszöglapok konkáv hétszögekké alakultak.

Szerkeszthető-e Klein-palack nyolcnál kevesebb síklapból? Létezik-e ilyen test? Lehet, hogy nem készíthető hét lapból Klein-palack, de azt esetleg tudhatjuk, hogy néz ki! A népszerű amerikai filmsorozat bűnügyi profilalkotóinak módszereivel képet alkothatunk arról, milyen is lehet a keresett objektum. Valószínűleg aszimmetrikus. A szimmetria ez esetben lappazarlást jelent. Nem a lapok száma, hanem azok elrendezése miatt. Bizonyára léteznek rajta kellemetlenül hegyes lapszögek és élszögek. Ez gyakorlatilag a lapok számának csökkenése miatt lép fel. Lesz rajta egy bejárat és egy alagút. Ez utóbbi feltételezés a gyakorlatban összeomlott. A bejáraton keresztül nem juthatunk messzire, az alagút pedig nullára zárul. Egyik hétlap jelöltbe sem lehet folyadékot tölteni. Az a korábbi feltétel sem teljesül, hogy ne legyen térfogata. Ami teljesül, a nem irányíthatóság és, hogy zárt felület, azaz nincsenek olyan élei, melyek a felület szélét határolják.

Készíthető-e Klein-palack, hétnél kevesebb síklapból? Nos, a Klein-palack felületén a térképszínezési feladathoz hat szín elegendő. Elképzelhető hogy készíthető Klein-palack felület hat tartományra osztva, és talán ezek a területek síklapokból is realizálhatóak, de ez egyáltalán nem biztos.

Alkothatunk-e profilt hat lapból épített Klein-palackra? Alig van elképzelésem, alakjáról, szerkezetéről. Gyaníthatóan többszörösen önátmetsző síkok gubanca lesz. Hegyes szögekkel, aszimmetrikus felépítéssel.

Óhatatlanul eljön az idő, amikor már nem elég csupán látnunk a vizsgált objektumot. A szellemi birtokbavétel megköveteli a test fizikai birtoklását. Akárhogy is, elő kell állítani azt az átkozott testet. A modellkészítéshez szükség van egy szabásmintára, mely alapján szerkesztett lapokból összeállítható a modell. Az Euler 3D program kiírja ugyan a csúcsok koordinátáit, ám ezek térbeli koordináták. A lapok megszerkesztéséhez viszont síkbeli koordinátákra van szükség. Kézenfekvő megoldás addig forgatni a testet, amíg a vizsgált lapja ráilleszkedik a koordinátarendszer valamelyik alapsíkjára. Az elforgatás szögének kiszámításához számológépet használtam, erre a program nem képes. Amint az adott lap ráilleszkedik az alapsíkra, az egyik érték nullára vált, a másik kettő érték pedig milliméterpapírra könnyen felszerkeszthető, ahonnan kartonpapírra másolható.

Fontos előre tisztázni a kartonpapírra jelölt lapok hajtogatási irányát. Ha a lapok konvex szögben találkoznak, akkor a karton színét, ha konkáv szögben találkoznak, akkor a karton fonákját kell megkarcolni. A ragasztást célszerű a belső, apróbb, bonyolultabb formákkal kezdeni, majd kifelé építkezve növeszteni a formát, s végül egy külső záró elem felhelyezésével befejezni. A tárgy, mely eddig elvi szinten létezett, most már kézzelfogható. Ellenőrizhető, hogy valóban bejárható-e a teljes felszíne, hogy valóban egyoldalú felületet tartunk-e a kezünkben. Az, hogy megfogható és forgatható nagyban segíti a megértés folyamatát, ám akad egy probléma: A kartonpapír nem átlátszó. A felületeket egy darabig követhetjük forma belső részei felé, de egy idő után csak logikánkra és képzeletünkre hagyatkozhatunk.

A modellépítés során végi fennállt az igény, átlátszó vagy áttetsző, s ez által áttekinthető makettek megépítésére. Különféle anyagokkal és technikákkal kísérleteztem, a nejlonzacskótól, a fém szúnyoghálón át, a feszítet sátorvászonig. Megvizsgáltam hogyan készíthető el plexiből, vagy üvegtáblákból. Problémaként jelent meg a különféle szögekben találkozó lapok egymáshoz rögzítése. Éles szögű találkozásnál a ragasztási felület jól láthatóan és kellemetlenül megnő, megszűnik a lapok egységes látványa.

Úgy döntöttem, első lépésben, papírvékonyságú, merev, átlátszó fóliával próbálkozom. Így talán kimodellezhető a technológiája egy nagyobb és erősebb változatnak is. Sajnos a keményfólia nem hajlítható a kartonpapírhoz hasonlóan, mert a karctű nyoma mentén törik. Ragasztása sem egyszerű, a Technokol Rapid és a pillanatragasztók csődöt mondanak, a ragasztópisztoly használata körülményes, s a fólián át minden hiba meglátszik. Ahogy láthatóak maradnak a kartonpapír modellek esetén ügyesen elrejthető ragasztási fülek is. Adódik a kézenfekvő lehetőség: az élhálózat vázként való felhasználása, ez azonban reménytelenül bonyolult feladat. Megfelelő szögekben és megfelelő profilúra csiszolt különböző teherbírású élek, nem képezhetnek erős, szilárd és esztétikusan egyszerű vázat. Valahogy csalni kell! Ha a test átlátszatlan lapokból megépíthető, akkor ilyen lapokból kell megépíteni. Ezzel megoldódik a ragasztás, későbbiekben hegesztés problémája, a csatlakozások erősek és elrejthetők.

Ugyanakkor semmi sem tiltja meg, hogy ezeket a nem átlátszó lapokat perforáljuk, és az eltávolított felületet átlátszó felülettel pótoljuk. Ha a lyuk megfelelően nagy, az eredeti lapnak csupán a külső széleit meghagyva, könnyen összeszerelhető erős és esztétikus vázat kapunk. A továbbiak csupán egyszerű technológiai problémák, akár egy tükör beillesztése a keretbe. S bár említettem, a fólia a fóliához nehezen ragasztható, a fólia a kartonpapírhoz már megfelelően ragad. Ezzel elhárult az utolsó akadály is az átlátszó színes modellek készítése elől.

Galéria

Pécsett, 2012. október 12-én