„A titokzatosnál nincs csodálatosabb. Alapvető érzés ez, ott áll az igazi művészet és az igaz tudomány bölcsőjénél. Aki nem ismeri, aki nem tud többé csodálkozni és nem érez meglepetést, az olyan, akár a halott, akinek lezáródott a szeme.”
Aforizmák rovat
Paradoxológia
Székely J. Gábor Paradoxonok a véletlen matematikájában című kötetének mottói
Székely J. Gábor, 1982
matematika, valószínűségszámítás, paradoxon
A matematika ugyanazt az ellentmondásos világot tükrözi, mint bármely más tudomány, így természetes, hogy a matematika története is bővelkedik érdekes, izgalmas paradoxonokban, sőt igen gyakran éppen a paradoxonok lettek a későbbi nagy változások kiindulópontjai. E könyv célkitűzése pontosan az, hogy a napjainkban egyre erőteljesebben felfelé ívelő és egyre szélesebb körben alkalmazásra kerülő véletlen matematikájának paradoxonokra épülő fejlődését mutassa be, azokat az izgalmas pillanatokat, amelyek egy-egy kiemelkedő felfedezést megelőztek vagy követtek és amelyeket a szűkszavú monográfiák egyre gyakrabban mellőznek. Nemcsak tudományos érdekességekről lesz szó, „mazsolákról”, amelyek messze távol esnek a tudomány fő fejlődési vonalától, hanem éppen azokról az ellentmondásokról, amelyek legtöbbje alapvető tévhiteket ingatott meg. (Szó lesz egyébként több olyan paradoxonról is, amelyek eredetileg nem paradoxonként vetődtek fel.) Egy paradoxonokra épülő könyvnek természetesen bizonyos történetiséget kell követnie, hiszen, ami paradoxon volt száz évvel ezelőtt, az nem biztos, hogy paradoxon ma is. Többek között ez az oka annak, hogy a könyv a legrégibb valószínűségszámítási paradoxonok ismertetésével kezdődik.
Igen fontos, hogy különbséget tegyünk a paradoxon és a fallácia között. Az előbbi igaz, de váratlan, meglepő tétel, az utóbbi pedig helytelen, hamis, de igaznak tűnő következtetésekkel nyert „felfedezés”. Mind a paradoxon, mind a fallácia igen vonzó és tanulságos lehet, ez a könyv azonban elsősorban paradoxonokkal foglalkozik. […]
I. Klasszikus paradoxonok a valószínűségszámításban
„Az események bekövetkezési valószínűségei fordítottan arányosak kívánatos voltukkal.”
„Klasszikus az, amit mindenki szeretett volna már elolvasni, de amit olvasni senki sem szeretne.”
A véletlennel kapcsolatos matematikai megfontolások – például a szerencsejátékosok ősi „aranyszabályai” – igen hosszú múltra tekinthetnek vissza, de valószínűségszámítási kérdések és paradoxonok írásba foglalása csak az újkor hajnalán kezdődött. Bár a véletlen matematikájának ma már alig van több köze a szerencsejátékokhoz, mint például a geometriának a földméréshez, kétségtelen, hogy a legelső paradoxonokat a széles körben elterjedt szerencsejátékok szülték.
1. A kockázás paradoxona; a mikrovilág „szerencsejátékai”
a) A paradoxon története
A szerencsejátékok közül egészen a középkor végéig a kockázás volt a legelterjedtebb. A „hazárd” szó is a kockajátékra utal: „az-zar” a kocka arab neve. A kártyajátékok Európában csak a XIV. században indultak hódító útjukra, a kockázás viszont már az ókori Egyiptomban az I. dinasztia idején, majd Görögországban és Rómában is divat volt. (A görög hagyomány szerint Palamedész találta fel a kockajátékot, hogy szórakoztassa a Trója ostromára várakozó, unatkozó görög katonákat; Pauszniasz II. századi író szerint Polügnótosz a Kr. e. V. században képet is festett Palamedész és Therszitész kockáznak címmel.) A legrégibb valószínűségszámítással foglalkozó könyvnek Girolamo Cardano (1501–1576): Liber de Ludo Aleae [Könyv a kockajátékról] című művének is jelentős részben a kockajáték a témája. Az igen rövid könyv csak 1663-ban jelent meg, jóval több mint száz évvel megírása után. Így történhetett, hogy bár a kockázás paradoxonának megoldását már Cardano is leírta, ugyanezt a problémát Galilei is vizsgálni kezdte, és külön tanulmányban foglalkozott vele, amelyet valamikor 1613 és 1623 között írt. A tanulmány címe eredetileg Sopra le Scoperte dei Dadi volt, de Galilei 1718-ban megjelent összegyűjtött műveiben Consideratione sopra il Giuoco dei Dadi címmel jelent meg. […]
II. Paradoxonok a matematikai statisztikában
„Születése rendetlen volt,
azért szerette szenvedélyesen
a rendet,…”
„Ahol a szabadság a rend,
mindig érzem a végtelent”
Exekiasz · Musei Vaticani, Róma
A statisztika eredetileg államszámtan volt. (Maga a „statisztika” szó is az „állam” jelentésű latin „status”-ból alakult ki.) A statisztika az ókortól kezdve arról tájékoztatta az államok vezetőit, mekkora adókat vethetnek ki alattvalóikra és hány katonára számíthatnak egy eljövendő háborúban. Kínában már négyezer évvel ezelőtt összeírták a lakosságot, felmérték az ingatlanokat és az ingóságokat. A Biblia szerint Mózes is megszámolta népének húsz éven felüli férfiait, az eredmény: 603 550. Mózes negyedik könyve seregnyi más népszámlálási adatot is tartalmaz, de igen valószínű, hogy az adatok túlzóak, mint ahogyan túlzóak a római császárkori Athénaiosz adatai is a görög városállamok rabszolgáinak számáról. Egészen valószínűtlen, hogy például Athénben 400 000, Korinthoszban pedig 460 000 rabszolga lett volna. Nem lehet tudni, hogyan „fújódtak fel” a népszámlálási eredmények, tény viszont, hogy a népszámlálásnak megfelelően a világ legelső milliós nagyvárosa valóban a császárkori Róma volt. Anglia első földbirtok-összeírása: a Domesday Book, amely a XI. században született, szintén az adózás és a hadsereg céljait szolgálta. Nyilván éppen ennek tulajdonítható, hogy például a nők számbavételét egészen az újkori népszámlálásokig mellőzték. A statisztika csak a polgári forradalmak után vált igazi tudománnyá. Úttörői John Graunt (1620–1674) és William Petty (1623–1687). A kapitalizmusban már nemcsak az államok vezetőit, hanem a tőkés vállalkozókat is érdekelni kezdték a statisztikai felmérések, és egyre komolyabb matematikai eszközöket használtak föl adataik feldolgozására, egyre növekvő haszonnal, például a biztosításban. Az első nagy biztosítótársaságok közül a Lloyd’s – amely még napjainkban is Anglia (és a világ) egyik legnagyobb biztosítási csúcsmonopóliuma – már a XVII. században megjelent, igaz, akkor még csak egy kávéház volt a londoni Tower Street-en. A jó biztosítás alapja a pontos felmérés és a helyes matematikai következtetés. A XVII. század óta a matematikai statisztika fokozatosan a matematika önálló ágává fejlődött, amelynek fő célja: minél megbízhatóbb hasznosítható információt nyerni a felmérési, megfigyelési és mérési adatokból: a statisztikai mintából. (Az adatok konkrét tartalmától elvonatkoztatott információ mennyiségének a mérése csak a huszadik század második felében vált önálló tudománnyá információelmélet néven, amely természetesen igen sok szállal kapcsolódik a matematikai statisztikához.)
Ahogyan Juvenalis szerint „nehéz szatírát nem írni”, úgy a statisztikában is nehéz paradoxont nem találni. A tapasztalat szerint kevés tudományterületet övez annyi félreértés és paradoxon, mint a statisztikát. Egy tréfa szerint, 1901-ben a Harvard egyetem hallgatónőinek 33 százaléka professzoraihoz ment férjhez. Igaz is, mindössze három lány járt akkor az egyetemre, s közülük egy valóban professzorné lett. Helyes az állítás, de félrevezető a beállítás. Ha egy országban az egyetemekre rendszeresen pl. 20%-kal több fiút vesznek fel, mint lányt, és feltételezzük, hogy a felvételizők egyforma felkészültségűek, akkor ebből általában azt a következtetést szokták levonni, hogy a felvételi bizottságok a fiúkat részesítik előnyben. Pedig igen gyakori eset, hogy a lányok nagyobb arányban jelentkeznek a divatosabb szakokra, ahol lényegesen nagyobb a visszautasítási arány, ezért annak ellenére, hogy minden szakon arányosan vesznek fel fiúkat és lányokat, végül is sokkal több lesz a fiú egyetemista. Nem kevésbé félrevezető, pontosabban félreértelmezhető L. P. Ayres 1913-ban készített szövegelemzése, amelyben megállapítja, hogy a leggyakoribb 50 szó az általa vizsgált teljes szöveg kb. 50%-át teszi ki, a leggyakoribb 300 szó a szöveg 75%-át, a leggyakoribb ezer szó pedig már 90%-át.
Ennek alapján azonban egyáltalán nem szabad arra gondolni, hogy ha valaki egy nyelv 50 vagy akár 100 szavát ismeri, akkor már „félig érti” a nyelvet, hiszen például a gyakran előforduló névelők ismerete alig segít a szövegek tényleges megértésében. Nem csoda, ha sokan úgy tartják: „van kis hazugság, nagy hazugság és statisztika”. Talán éppen a matematikai statisztika paradoxainak megértése segít ahhoz, hogy a statisztikai ködösítéseken átlássunk, megértsük a valóban hasznos, sőt nélkülözhetetlen statisztikai következtetéseket, és megtaláljuk a kulcsfontosságú információkat. […]
III. A véletlen folyamatok paradoxonai
„Mert bizonyos, hogy az őselemek helyüket nem előre
Megfontoltan foglalták el a mostani rendben,
Sem ki nem alkudták, ki hogyan végezze a mozgást,
Ámde mivel hozzászoktak már ősi időktől,
Hogy sokféle ütéstől erre meg arra mozognak,
Így történt, hogy olyan sok időn át szerte bolyongva,
S megpróbálván minden mozgást s egybeverődést,
Összekerültek olyan magvak, melyek összevegyülve
Gyakran nagy dolgoknak az első sejtjei lettek,
Mint égnek, földnek, tengernek, s állati nemnek.”
„Az bizonyos, hogy az őselemek közül egy sem eszével
fontolgatva jutott maga rendje szerinti helyére;
frígy se fogant, hogyan adjk át egymásnak a mozgást.
Ámde mivel száguldását a sok ősi elemnek
összecsapódásuk, súlyuk lendíti öröktől
fogva tovább, s minden lehető vegyülési arányban
összekerülnek ezek, s szakadatlanul azt kísérlik,
mit tudnának még alkotni az egyesüléssel,
így történt, hogy időtlen idők hosszát bebolyongták,
meg-megpróbálván minden lehető nemü mozgást,
s kapcsolatot, míg végül olyan kötelékbe kerültek
hirtelenül, mi hatalmas lét nagy kezdete gyakran,
mint Föld, Ég, Tenger, s eleven fajták születése.”
A véletlen folyamatok – görög eredetű szakkifejezéssel: sztochasztikus folyamatok – matematikai vizsgálatában az első jelentős eredmények csak a múlt században születtek meg. A XVII–XVIII. században – főként a klasszikus mechanika sikereire építve – a determinisztikus folyamatok vizsgálata vált a kutatások fő irányává. Ebben az időben alakult ki az a „mechanikus determinista” tudományszemlélet is, amely a véletlent azonosította a lényegtelennel, s azt a célt tűzte ki, hogy a véletlent lehetőleg kiiktassa az alaptudományokból. A múlt század második felében viszont fokozatosan minden alaptudományban, a statisztikus fizika révén a fizikában is, tért hódított a véletlen folyamatok matematikája, a XX. századi kvantumfizikában pedig alapvető szerepet kapott. Minél mélyebb szintre jutott el egy-egy tudományág a megismerés folyamatában, annál világosabbá vált a sztochasztikus folyamatok nélkülözhetetlen szerepe.
IV. Újabb paradoxonok
„Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli.”
Az 1900-as párizsi Nemzetközi Matematikai Kongresszuson David Hilbert a matematika legfontosabb 23 megoldatlan problémája között sorolta fel a valószínűségszámítás megalapozását is. A századfordulóra a valószínűségszámításnak már igen sok kiemelkedő eredménye volt, de éppen a megalapozottság hiánya miatt nem kapcsolódott szervesen a matematika többi ágához. Feltehetően ez volt a legfőbb oka annak, hogy Felix Klein, a göttingeni egyetem professzora A XIX. század matematikája című munkájában említést sem tett a valószínűségszámításról. Számos matematikus – különösen E. Borel, A. Lomnitzky és H. Steinhaus – kutatásaira építve végül is A. N. Kolmogorov 1933-ban a halmaz- és mértékelmélet segítségével felépítette a valószínűségszámítás szabatos elméletét. […]
V. Paradoxológia
„A tudományos igazságok mindig paradoxálisak, ha okoskodásunk a köznapi tapasztalatra támaszkodik, amely a dolgoknak csupán csalóka látszatát ragadja meg.”
A legtöbb tudomány története – a matematikáé is – paradoxonok története. A legnagyobb felfedezések általában a legnagyobb paradoxonokat oldják meg (gondolhatunk itt akár Darwin-ra, akár Einstein-re), és eközben gyakran újabbakat szülnek. Szókratész tanítási módszere, amely paradoxonokon keresztül vezetett új igazságok felismeréséhez, éppen azért a legmélyebben gyökerező tanítási módszer, mert magának a megismerésnek az útja is paradoxonokra épül.
A deduktív matematika kialakulása szempontjából például döntő jelentőségű volt az a felfedezés, hogy – ellentétben a püthagoreus felfogással, amely szerint „minden dolgok lényege az egész szám” – léteznek olyan távolságok (például egy négyzet átlója és oldala), amelyek aránya nem egész szám és nem is egész számok aránya, vagyis a püthagoreus értelemben nem is szám (mai szóhasználattal nem racionális szám). Ez az ún. összemérhetetlenségi paradoxon vezetett el egyrészt a püthagoreus iskola felbomlásához, a számok „mindenható” szerepének átmeneti háttérbe szorulásához és a világ új alapjának, a geometriának euklideszi útjához, valamint Platón idealizmusának matematikai megalapozásához, amelyet matematikai idealizmusnak is nevezhetnénk (az összemérhetetlenség közvetlen gyakorlati ellenőrzése lehetetlen, így Platón szerint a tapasztalat nem is vezethet igazi tudáshoz). A középkori matematika legnagyobb paradoxona, hogy a „semmit”, a nullát is célszerű „valaminek” tekinteni és jelölni is valamivel, mert ezáltal válik lehetővé a számolás lényeges leegyszerűsítése: az indiai-arab helyi értékes számírás. Az újkor hajnalán a negatív, majd a komplex számok okozták a legtöbb paradoxont. Egyikük szerint például lehetetlen, hogy (–1) : 1 = 1 : (–1) legyen, hiszen kisebb számnak egy nagyobbhoz viszonyított aránya nem lehet egyenlő egy nagyobb számnak egy kisebbhez viszonyított arányával. Az újkor a matematika minden ágában seregnyi paradoxont szült az algebrai egyenletek megoldhatóságától kezdve a Bolyai-féle geometriáig. Érdekes, hogy a végtelen paradoxonairól a prágai Bernard Bolzano már a múlt század első felében egy teljes könyvet írt Paradoxien des Unendlichen (A végtelen paradoxonai) címmel, pedig a végtelen igazi paradoxonai csak Georg Cantor-nak a végtelen halmazok elméletére vonatkozó 1872-es felfedezéseit követően mutatkoztak meg. A század vezető matematikusai: Gauss, Cauchy, Kronecker, Poincaré és mások elutasították a tényleges („aktuális”) végtelen fogalmát, a végtelennek csak szimbolikus értelmet tulajdonítottak. A modern matematika alapköve viszont éppen a tényleges végtelen fogalmát használó Cantor-féle halmazelmélet, bár a „horror infiniti” azóta sem szűnt meg, sőt a felvetődött paradoxonok csak növelték a „finitisták” táborát. Ugyanúgy mindmáig nem szűnt meg a félelem a véletlentől sem. A végtelen és a véletlen matematikai paradoxonai egyebek mellett azért is rendkívül lényegesek, mert e két fogalom kihat egész világszemléletünkre, filozófiai gondolkodásunkra. Remélhetőleg e könyv olvasása közben világosabbá vált, milyen paradoxonok foglalkoztatták, illetve foglalkoztatják még ma is a véletlen matematikájának kutatóit. Einstein paradox megfogalmazása szerint „a világban az a legérthetetlenebb, hogy érthető”. Annyi minden bizonnyal igaz, hogy egyre érthetőbb, és ez a véletlen világára, a véletlen matematikájára is érvényes. […]
Befejezés helyett
„Nem biztos csak a kétes a szememnek
s ami világos, mint a nap: titok;
hiszek a véletlennek, hirtelennek,
s gyanúm az igaz körül sompolyog;”
